Что такое калькулятор F-распределения?
Этот инструмент вычисляет значения F-распределения (распределения Фишера — Снедекора) для заданной точки x и двух параметров числа степеней свободы: числителя v1 и знаменателя v2. На выходе вы получаете плотность вероятности f(x), нижнюю кумулятивную вероятность P(X ≤ x) и верхнюю (хвостовую) вероятность P(X > x). F-распределение — фундаментальное понятие математической статистики и работает одинаково в любой стране, без каких-либо национальных особенностей или допущений.
Как пользоваться калькулятором
Введите точку \(x\) (значение должно быть не меньше 0), число степеней свободы числителя \(v_1\) (больше 0) и число степеней свободы знаменателя \(v_2\) (больше 0). Оба значения степеней свободы могут быть и нецелыми. Калькулятор выдаст плотность и две кумулятивные вероятности, для которых всегда выполняется соотношение: нижняя + верхняя = 1.
Разбор формулы
Плотность задаётся выражением
$$f(x) = \frac{\sqrt{\dfrac{(v_1\,x)^{v_1}\,v_2^{\,v_2}}{(v_1\,x + v_2)^{v_1+v_2}}}}{x \cdot B\!\left(\dfrac{v_1}{2},\dfrac{v_2}{2}\right)}$$где \(B\) — бета-функция, а \(d_1 = v_1\), \(d_2 = v_2\). Функция распределения опирается на регуляризованную неполную бета-функцию:
$$P(X \le x) = I_{z}\!\left(\dfrac{v_1}{2},\,\dfrac{v_2}{2}\right),\qquad z = \dfrac{v_1\,x}{v_1\,x + v_2}$$Логарифм гамма-функции мы вычисляем по приближению Ланцоша, а неполную бета-функцию — через разложение в непрерывную дробь (методом Ленца).
Пример расчёта
Возьмём \(x = 1\), \(v_1 = 2\), \(v_2 = 1\): тогда \(B(1, 0.5) = 2\), поэтому
$$f(1) = \frac{2^1 \cdot 1^0 \cdot 3^{-1.5}}{2} = 3^{-1.5} \approx 0{,}19245$$Для функции распределения \(z = 2/3\), и \(I_{2/3}(1, 0.5) = 1 - (1/3)^{0.5} \approx 0{,}42265\), откуда \(P(X > 1) \approx 0{,}57735\).
Частые вопросы
Могут ли степени свободы быть дробными? Да. F-распределение корректно определено для любых положительных вещественных значений степеней свободы.
Что происходит при x = 0? Нижняя вероятность равна 0, а верхняя — 1. Плотность равна +бесконечности, если \(v_1 < 2\), равна 1 при \(v_1 = 2\) и равна 0, если \(v_1 > 2\).
Для чего нужна верхняя кумулятивная вероятность? Это p-значение для F-критерия: вероятность получить значение F-статистики не меньше x при справедливости нулевой гипотезы.
