Что такое отрицательное биномиальное распределение?
Отрицательное биномиальное распределение описывает количество неудач x, которые случаются до наступления k-го успеха в последовательности независимых испытаний Бернулли, где вероятность успеха в каждом испытании равна p. Калькулятор использует параметризацию «число неудач до k-го успеха», поэтому случайная величина принимает значения x = 0, 1, 2, … Он возвращает плотность вероятности f, нижнюю кумулятивную вероятность P или верхнюю вероятность (функцию выживания) Q, а также строит таблицу выбранной функции для заданного диапазона значений x.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите, какую функцию нужно вычислить: f (плотность вероятности), P (нижняя кумулятивная) или Q (верхняя кумулятивная). Затем укажите требуемое число успехов k (целое положительное число), вероятность успеха в одном испытании p (от 0 до 1), начальное значение x, шаг между строками и количество строк. В таблице для каждого x приводится соответствующая вероятность; дополнительно выводятся математическое ожидание и дисперсия числа неудач.
Разбор формулы
Функция плотности вероятности: $$f(x,k,p) = \binom{x+k-1}{x}\,p^{k}\,(1-p)^{x}$$ где \(C\) — биномиальный коэффициент. Нижняя кумулятивная функция распределения: $$P(x,k,p) = \sum_{t=0}^{x} f(t,k,p)$$ Верхняя кумулятивная функция (функция выживания): \(Q(x,k,p) = 1 - P(x-1,k,p)\), что равно сумме \(f(t)\) по всем \(t \ge x\). Математическое ожидание числа неудач равно \(\frac{k(1-p)}{p}\), а дисперсия — \(\frac{k(1-p)}{p^{2}}\).
Разбор примера
Пусть \(k = 4\), \(p = 0{,}4\). Найдём \(f(x=2)\): \(\binom{5}{2} = 10\), \(p^{4} = 0{,}0256\), \((0{,}6)^{2} = 0{,}36\), поэтому $$f = 10 \times 0{,}0256 \times 0{,}36 = 0{,}09216$$ Нижняя кумулятивная $$P(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0{,}0256 + 0{,}06144 + 0{,}09216 = 0{,}1792$$ Функция выживания $$Q(2) = 1 - P(1) = 1 - (0{,}0256 + 0{,}06144) = 0{,}91296$$
Частые вопросы
Что считает x — успехи или неудачи? Здесь \(x\) — это число неудач до \(k\)-го успеха. Общее число испытаний составит \(x + k\).
Что будет при p = 1? Неудачи невозможны, поэтому \(f(0) = 1\), а \(f(x) = 0\) при \(x > 0\).
Что будет при p = 0? Распределение вырождается (ожидается бесконечно много неудач), и \(f(x) = 0\) для любого конечного \(x\).
