什麼是負二項分布？
負二項分布用來描述：在一連串獨立的伯努利試驗中，每次試驗成功的機率為 p，要等到第 k 次成功之前，總共會發生幾次失敗 x。本計算器採用「第 k 次成功前的失敗次數」這種參數化方式，因此隨機變數可取的值為 x = 0、1、2、……。計算結果會給出機率質量 f、下尾累積機率 P，或上尾（存活）機率 Q，並在指定的一段 x 範圍內列出所選函數的數值表。
使用方法
先選擇要計算的函數：f（機率質量）、P（下尾累積）或 Q（上尾累積）。接著輸入所需的成功次數 k（正整數）、每次試驗的成功機率 p（介於 0 與 1 之間）、x 的起始值、每列之間的間隔，以及要產生幾列。表格會列出每個 x 與對應的機率；同時也會顯示失敗次數的平均數與變異數。
公式說明
機率質量函數為 $$f(x,k,p) = \binom{x+k-1}{x}\,p^{k}\,(1-p)^{x}$$，其中 C 為二項式係數。下尾累積分布為 $$P(x,k,p) = \sum_{t=0}^{x} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$。上尾累積（存活）函數為 \(Q(x,k,p) = 1 - P(x-1,k,p)\)，等於所有 \(t \ge x\) 的 \(f(t)\) 總和。失敗次數的平均數為 \(k(1-p)/p\)，變異數為 \(k(1-p)/p^{2}\)。
實例演算
設 \(k = 4\)、\(p = 0.4\)，求 \(f(x=2)\)：\(\binom{5}{2} = 10\)、\(p^{4} = 0.0256\)、\((0.6)^{2} = 0.36\)，因此 $$f = 10 \times 0.0256 \times 0.36 = 0.09216$$下尾累積 $$P(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0.0256 + 0.06144 + 0.09216 = 0.1792$$存活機率 $$Q(2) = 1 - P(1) = 1 - (0.0256 + 0.06144) = 0.91296$$
常見問題
x 計算的是成功次數還是失敗次數？在此 x 計算的是第 k 次成功之前的失敗次數。試驗總次數則為 x + k。
如果 p = 1 會怎樣？此時不可能發生失敗，所以 \(f(0) = 1\)，而當 \(x > 0\) 時 \(f(x) = 0\)。
如果 p = 0 會怎樣？分布會退化（預期會有無限多次失敗），對於任何有限的 x，\(f(x) = 0\)。
