ما هو التوزيع ذو الحدين السالب؟
يصف التوزيع ذو الحدين السالب عدد الإخفاقات x التي تقع قبل النجاح رقم k في سلسلة من تجارب برنولي المستقلة، حيث ينجح كل تجربة باحتمال p. تعتمد هذه الحاسبة على صيغة «عدد الإخفاقات قبل النجاح رقم k»، لذا يأخذ المتغير العشوائي القيم x = 0، 1، 2، ... وتُرجع الحاسبة دالة الكتلة الاحتمالية f، أو الاحتمال التراكمي السفلي P، أو احتمال البقاء العلوي Q، كما تعرض الدالة المختارة في جدول يغطي مجالاً من قيم x.
طريقة الاستخدام
اختر أولاً الدالة التي تريد حسابها: f (الكتلة الاحتمالية)، أو P (التراكمية السفلية)، أو Q (التراكمية العليا). ثم أدخل عدد النجاحات المطلوب k (عدد صحيح موجب)، واحتمال النجاح في كل تجربة p (بين 0 و1)، وقيمة x الابتدائية، ومقدار الزيادة بين الصفوف، وعدد الصفوف المراد توليدها. يعرض الجدول كل قيمة x والاحتمال المقابل لها، كما يُظهر المتوسط والتباين لعدد الإخفاقات.
شرح المعادلة
دالة الكتلة الاحتمالية هي $$f(x,k,p) = \binom{x+k-1}{x}\,p^{k}\,(1-p)^{x}$$ حيث \(C\) هو معامل ذي الحدين. أما الدالة التراكمية السفلية فهي $$P(x,k,p) = \sum_{t=0}^{x} f(t,k,p)$$ ودالة البقاء (التراكمية العليا) هي $$Q(x,k,p) = 1 - P(x-1,k,p)$$ وهي تساوي مجموع \(f(t)\) لكل \(t \ge x\). ويبلغ متوسط عدد الإخفاقات \(\frac{k(1-p)}{p}\)، بينما يساوي التباين \(\frac{k(1-p)}{p^{2}}\).
مثال محلول
عند \(k = 4\) و\(p = 0.4\)، نحسب \(f(x=2)\): فيكون \(\binom{5}{2} = 10\)، و\(p^{4} = 0.0256\)، و\((0.6)^{2} = 0.36\)، ومن ثم $$f = 10 \times 0.0256 \times 0.36 = 0.09216$$ والاحتمال التراكمي السفلي $$P(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0.0256 + 0.06144 + 0.09216 = 0.1792$$ واحتمال البقاء $$Q(2) = 1 - P(1) = 1 - (0.0256 + 0.06144) = 0.91296$$
الأسئلة الشائعة
هل تمثل x عدد النجاحات أم الإخفاقات؟ هنا تمثل x عدد الإخفاقات قبل النجاح رقم k. ويكون إجمالي عدد التجارب x + k.
ماذا لو كان p = 1؟ لا يمكن وقوع أي إخفاق، لذا تكون \(f(0) = 1\) و\(f(x) = 0\) لكل \(x > 0\).
ماذا لو كان p = 0؟ يصبح التوزيع متلاشياً (إذ يُتوقع عدد لا نهائي من الإخفاقات)، وتكون \(f(x) = 0\) لكل قيمة منتهية لـ x.
