ما هي حاسبة المئين للتوزيع الطبيعي المعياري؟
تحسب هذه الأداة نقطة النسبة المئوية (وتُسمى أيضًا المئين أو الكمّيّة أو قيمة z المُستخرجة من الدالة التراكمية العكسية) للتوزيع الطبيعي المعياري N(0,1). فإذا أعطيتها احتمالًا تراكميًا، أعادت لك قيمة z على المحور الأفقي للمنحنى الجرسي التي تفصل تلك المساحة. وهي معكوس دالة التوزيع التراكمية (CDF)، وكثيرًا ما تُكتب بالصيغة \( z = \Phi^{-1}(p) \).
طريقة الاستخدام
اختر أولًا الطريقة التي يُقرأ بها احتمالك: الاحتمال التراكمي السفلي P (المساحة الواقعة على يسار z)، أو الاحتمال التراكمي العلوي Q (المساحة الواقعة على يمينه)، أو المساحة المركزية الداخلية ثنائية الجانب (المساحة المتماثلة المحصورة بين \(-z\) و\(+z\)). ثم أدخل احتمالًا محصورًا تمامًا بين 0 و1. تقوم الحاسبة بتحويل مدخلاتك إلى احتمال ذيل سفلي واحد ثم تُعيد قيمة z المقابلة له.
المعادلة
كثافة التوزيع الطبيعي المعياري هي $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2}$$ ودالته التراكمية هي \(\Phi(x)\). نعكس هذه الدالة كالتالي: في النمط السفلي \(p_{lower} = p\)؛ وفي النمط العلوي \(p_{lower} = 1 - p\)؛ وفي النمط الداخلي \(p_{lower} = (1 + p)/2\) مع شرط \(z \ge 0\). ثم تُحسب $$z = \Phi^{-1}(p_{lower})$$ باستخدام تقريب أكلام النِّسبي عالي الدقة (بخطأ نسبي يقارب 1e\(-9\)).
مثال محلول
في النمط السفلي عند \(p = 0.975\) نحصل على $$z = \Phi^{-1}(0.975) \approx 1.959964$$ — وهي القيمة الشهيرة 1.96 المستخدمة في فترات الثقة بنسبة 95%. وفي النمط الداخلي عند \(p = 0.95\) نحصل أيضًا على 1.96، فتكون الفترة المركزية بنسبة 95% هي \([-1.96, +1.96]\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون p بين 0 و1؟ عند \(p = 0\) أو \(p = 1\) تصبح قيمة z مساوية لـ \(-\infty\) أو \(+\infty\)، ولذلك تُرفض هاتان القيمتان.
ما العلاقة بين النمطين العلوي والسفلي؟ قيمة z في النمط العلوي تساوي سالب قيمة z في النمط السفلي للاحتمال نفسه: $$\Phi^{-1}(1-p) = -\Phi^{-1}(p)$$
هل النتيجة دقيقة تمامًا؟ لا توجد صيغة مغلقة دقيقة، لكن تقريب أكلام دقيق إلى نحو تسعة أرقام معنوية، وهو ما يفوق حاجة العرض بكثير.
