ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتعامل هذه الأداة مع التوزيع الطبيعي المعياري الثنائي المتغير، وهو توزيع غاوسي ثنائي الأبعاد بمتوسطات صفرية وتباين يساوي الواحد على كلا المحورين، مع معامل حر واحد فقط هو معامل الارتباط ρ. عند إعطائها نقطة (x، y) تُرجع لك رقمين: كثافة الاحتمال المشتركة \(f(x, y, \rho)\) عند تلك النقطة، والاحتمال التراكمي للطرف العلوي (الثُمن) \(Q(x, y, \rho) = P(U_1 > x \text{ و } U_2 > y)\). ولأن كل المدخلات هي بالأصل قيم معيارية مجردة من الوحدات، فإن الحاسبة شاملة وعالمية ولا تحتاج إلى أي تحويل للوحدات.
طريقة الاستخدام
أدخل النقطة المئوية x، والنقطة المئوية y، ومعامل الارتباط ρ. ويُقصد هنا بـ"النقطة المئوية" عتبة معيارية شبيهة بقيمة z (أي إحداثي)، وليست نسبة مئوية بين 0 و1. يجب أن يحقق معامل الارتباط الشرط \(-1 < \rho < 1\)؛ أما القيمتان \(\pm 1\) فمرفوضتان لأن الكثافة تصبح شاذة (قسمة على صفر في المقدار \(\sqrt{1-\rho^{2}}\)).
شرح الصيغ
الكثافة هي الصيغة الغاوسية المغلقة الموضحة أعلاه:
$$\varphi(x,y;\rho) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^{2}}}\,\exp\!\left(-\frac{x^{2}-2\rho\,x\,y+y^{2}}{2\left(1-\rho^{2}\right)}\right)$$أما احتمال الثُمن فيعتمد على متطابقة شيبارد (Sheppard): فعندما يكون \(\rho = 0\) يكون المتغيران مستقلين ويصبح \(Q = Q_1(x)\cdot Q_1(y)\)، حيث \(Q_1(t)\) هي دالة الطرف العلوي للتوزيع الطبيعي المعياري أحادي المتغير. وعند اختلاف ρ عن الصفر نضيف تكاملاً تصحيحياً من 0 إلى ρ، يُحسب هنا باستخدام تربيع غاوس–ليجاندر بـ24 عقدة لضمان الدقة.
$$\begin{gathered} Q(x,y;\rho) = Q_1(x)\,Q_1(y) + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\rho}\frac{\exp\!\left(-\dfrac{x^{2}-2r\,x\,y+y^{2}}{2(1-r^{2})}\right)}{\sqrt{1-r^{2}}}\,dr \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x &= \text{Percentile point x} \\ y &= \text{Percentile point y} \\ \rho &= \text{Correlation }\rho \\ Q_1(t) &= \tfrac{1}{2}\,\operatorname{erfc}\!\left(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\right) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
لنأخذ \(x = 2\)، \(y = 0.7\)، \(\rho = 0.8\): يكون \(1 - \rho^{2} = 0.36\)، والجذر التربيعي \(= 0.6\)، والمعامل الأمامي \(= 1/(2\pi\cdot 0.6) = 0.265258\). وبسط الأُس \(= 4 - 2\cdot 0.8\cdot 2\cdot 0.7 + 0.49 = 2.25\)، وبقسمته على \(0.72\) نحصل على \(3.125\). ومن ثم فإن \(f = 0.265258 \cdot e^{-3.125} \approx 0.011655\). أما الاحتمال العلوي فهو \(Q \approx 0.0212\) — وهو أعلى من قيمة الاستقلال البالغة 0.0055، لأن الارتباط الموجب يدفع كلا المتغيرين إلى الارتفاع معاً.
كيف يغير الارتباط احتمالية الرُّبع
احتمالية الرُّبع \(Q(x,y;\rho)=P(U_1>x,\,U_2>y)\) تقيس احتمال أن يتجاوز متغيران عشوائيان طبيعيان معياريان حدودهما في نفس الوقت. عند تثبيت نقاط القطع عند \(x=1\) و\(y=1\) وتغيير الارتباط \(\rho\) نعزل التأثير الخالص للاعتماد. عندما \(\rho=0\) يكون المتغيران مستقلين و\(Q\) ينقسم إلى حاصل ضرب الذيلين العلويين أحاديي المتغير، \(Q_1(x)\,Q_1(y)\). بالنسبة للتوزيع الطبيعي المعياري، \(Q_1(1)=P(U>1)\approx 0.158655\)، لذلك مقياس الاستقلال هو \(0.158655^2 \approx 0.025172\).
| \(\rho\) | الكثافة \(f(1,1;\rho)\) | احتمالية الرُّبع \(Q(1,1;\rho)\) | الاستقلال \(Q_1(1)Q_1(1)\) |
|---|---|---|---|
| \(-0.8\) | 0.0476 | 0.0049 | 0.0252 |
| \(-0.4\) | 0.0780 | 0.0145 | 0.0252 |
| \(0\) | 0.0585 | 0.0252 | 0.0252 |
| \(0.4\) | 0.1063 | 0.0438 | 0.0252 |
| \(0.8\) | 0.2643 | 0.0826 | 0.0252 |
النمط رتيب: الارتباط الموجب يجعل التجاوز المشترك أكثر احتمالاً (تحدث القيم الكبيرة معاً)، لذلك يرتفع \(Q\) فوق قيمة الاستقلال؛ الارتباط السالب يسحب المتغيرين في اتجاهات متعاكسة، لذلك يصبح التجاوز المشترك أندر و\(Q\) ينخفض تحت \(Q_1 Q_1\). عند \(\rho=0\) احتمالية الرُّبع تساوي تماماً الحاصل \(0.0252\)، مما يؤكد تحليل الاستقلال.
تفسير الكثافة واحتمالية الرُّبع
الكثافة \(f\) ليست احتمالية. القيمة \(\varphi(x,y;\rho)\) هي كثافة احتمال لكل وحدة مساحة في المستوى \((x,y)\)؛ فقط تكاملها على منطقة ما يعيد احتمالية. السطح يبلغ أقصى قيمة له في الأصل \((0,0)\)، حيث الحد الأسي يساوي 1 و
$$f(0,0;\rho)=\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^{2}}}.$$بالنسبة لـ \(\rho=0\) هذا الذروة هي \(1/(2\pi)\approx 0.159\)، أقل بكثير من 1. عندما \(\rho\to\pm 1\) العامل \(1/\sqrt{1-\rho^2}\) يميل للانفجار، لذلك كثافة الذروة يمكن أن تتجاوز 1 — وهذا طبيعي لكثافة، لأنها تركز كتلة الاحتمال على الخط \(y=\rho x\).
احتمالية الرُّبع \(Q\) هي احتمالية حقيقية وتقع دائماً في \([0,1]\). وهي الحجم تحت سطح الكثافة على الربع \(\{U_1>x,\,U_2>y\}\). حقائق هيكلية مفيدة:
- الاستقلال (\(\rho=0\)): \(Q(x,y;0)=Q_1(x)\,Q_1(y)\)، حاصل ضرب الذيلين العلويين أحاديي المتغير.
- التماثل في الحجج: بتبديل أدوار الإحداثيين، \(Q(x,y;\rho)=Q(y,x;\rho)\).
- هوية الانعكاس: \(Q(-x,-y;\rho)=Q(x,y;\rho)+ \Phi(-x)+\Phi(-y)-1\) (قابل للتعبير بشكل مكافئ من خلال دالة التوزيع الاحتمالي المرتبط ثنائي المتغير)، وعكس إشارة حجة واحدة يقلب الارتباط الفعال: \(P(U_1>x,\,U_2
- السلوك النهائي \(\rho\to 1^{-}\): يصبح المتغيران متزامنين تماماً، \(U_2\approx U_1\)، لذلك \(Q(x,y;\rho)\to Q_1(\max(x,y))\) — كلا التجاوزين متطابقان.
- السلوك النهائي \(\rho\to -1^{+}\): يصبح المتغيران متعاكسي المراحل تماماً، \(U_2\approx -U_1\). التجاوز العلوي المشترك ممكن فقط عندما يمكن لكلا الحدود أن يتم تجاوزهما في نفس الوقت، مما يعطي \(Q\to\max\!\big(0,\;1-\Phi(x)-\Phi(y)\big)\)، وهو 0 عندما \(x+y\ge 0\).
لأنه لا توجد صيغة مغلقة لـ \(Q\) مع \(\rho\) عام، يتم تقييمها عددياً — عادة من خلال دالة Owen's T أو تكامل أحادي البعد على \(\rho\) باستخدام تربيع Gauss–Legendre، وكلاهما يعيد القيم الموضحة في جدول المقارنة بدقة عالية.
التعريفات والمسرد
- الدرجة الموحدة (\(x\), \(y\))
- إحداثي شبيه بـ z يقيس عدد الانحرافات المعيارية التي تبعد قيمة ما عن متوسطها. المدخلات \(x\) و\(y\) موحدة بالفعل، لذلك كل واحدة تتبع هامشياً التوزيع الطبيعي المعياري \(N(0,1)\).
- معامل الارتباط \(\rho\)
- الارتباط الخطي (Pearson) بين متغيريْ طبيعييْ معياريين، حيث \(-1<\rho<1\). إنه المعامل الوحيد الذي يحكم مدى قوة حركة الإحداثيين معاً؛ \(\rho=0\) يعني الاستقلال هنا، بينما \(\rho\to\pm1\) يعني علاقة خطية شبه حتمية. يمكن تقدير \(\rho\) المُلاحظ من البيانات المزدوجة باستخدام حاسبة ارتباط Pearson.
- الكثافة المشتركة \(f(x,y;\rho)\)
- كثافة الاحتمال الطبيعي المعياري ثنائي المتغير، \(\varphi(x,y;\rho)=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\!\left(-\dfrac{x^2-2\rho xy+y^2}{2(1-\rho^2)}\right)\). وهي تصف احتمالاً لكل وحدة مساحة، وليست احتمالية بحد ذاتها.
- احتمالية الرُّبع \(Q(x,y;\rho)\)
- احتمالية الذيل العلوي المشترك \(P(U_1>x,\,U_2>y)\) — الحجم تحت سطح الكثافة على الربع العلوي الأيمن المحدد بالعتبتين. دائماً بين 0 و 1.
- الذيل العلوي أحادي المتغير \(Q_1(t)\)
- دالة البقاء الطبيعية المعيارية \(Q_1(t)=P(U>t)=1-\Phi(t)\)، المساحة في الذيل الأيمن بعد \(t\). على سبيل المثال \(Q_1(1)\approx 0.1587\). عند \(\rho=0\)، \(Q=Q_1(x)Q_1(y)\).
- دالة الخطأ المتممة (\(\operatorname{erfc}\))
- دالة خاصة مرتبطة بذيل التوزيع الطبيعي بواسطة \(Q_1(t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{erfc}\!\left(t/\sqrt{2}\right)\). توفر طريقة مستقرة عددياً لحساب احتمالات الذيل أحادي المتغير المستخدمة في \(Q\).
- تربيع Gauss–Legendre
- مخطط التكامل العددي الذي يقرب تكاملاً محدداً بمجموع موزون للمُكامل عند عقد مختارة بشكل أمثل. لأن \(Q(x,y;\rho)\) ليس لها شكل مغلق أساسي، يتم تقييمها عادة بتكامل الكثافة (أو دالة من \(\rho\)) بهذه الطريقة للحصول على نتائج دقيقة.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا يمكن أن يكون ρ مساوياً تماماً للواحد؟ عند \(\rho = \pm 1\) يصبح المتغيران مرتبطين ارتباطاً تاماً وينهار التوزيع على خط مستقيم؛ ولا يكون للكثافة حينها قيمة منتهية خارج ذلك الخط.
ماذا يمثّل Q؟ إنه كتلة الاحتمال في "الثُمن" العلوي الأيمن الواقع وراء كلتا العتبتين معاً: \(P(U_1 > x، U_2 > y)\).
ماذا يحدث عند القيم الكبيرة لـ x أو y؟ تتلاشى الكثافة نحو الصفر ويقترب Q من الصفر، لأنه يصبح من غير المرجح أكثر فأكثر أن يتجاوز كلا المتغيرين المعياريين عتبات موجبة كبيرة في آنٍ واحد.
