ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة قيمة تقريبية للتكامل المحدد لدالة g(x) على فترة منتهية (a, b) باستخدام تربيع غاوس-تشيبيشيف من النوع الثاني. يقوم التكامل الغاوسي بتقييم الدالة عند عدد قليل من النقاط المختارة بعناية (العُقد) ثم يجمعها بأوزان مناسبة، مما يمنح دقة عالية للدوال الملساء بعدد ضئيل جداً من التقييمات. وهي عملية رياضية بحتة، لذا لا توجد وحدات ولا قواعد خاصة بأي بلد.
طريقة الاستخدام
أدخل الدالة المُراد تكاملها كتعبير بدلالة x (مثل sqrt(1-x^2) أو exp(x) أو 1/(1+x^2) أو sin(x)). من الدوال المدعومة: sin وcos وtan وasin وacos وatan وexp وln/log وsqrt وabs، إضافة إلى القوى باستخدام الرمز ^، والثابتين pi وe. بعد ذلك حدّد الحدّ الأدنى a والحدّ الأعلى b وعدد العُقد n. عادةً ما يحسّن رفع قيمة n من الدقة في الدوال الملساء؛ وتعطي القيم بين 30 و60 نتائج جيدة للدوال غير الموزونة.
شرح الصيغة
تُبنى قاعدة النوع الثاني على المتطابقة القياسية على الفترة [-1, 1] بدالة وزن \(\sqrt{1 - x^2}\). وتُعطى عُقدها بصيغة مغلقة \(x_i = \cos\!\left(\frac{i\cdot\pi}{n+1}\right)\) وأوزانها \(w_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin^2\!\left(\frac{i\cdot\pi}{n+1}\right)\). ولتكامل دالة g غير موزونة على فترة عامة، نُسقِط الفترة \([-1,1]\) على \([a,b]\) (بمعامل ياكوبي \(\frac{b-a}{2}\)) ونقسم على \(\sqrt{1 - x_i^2}\). يلغي هذا القسم تحليلياً، فيتبقّى الوزن الفعّال \(W_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin\!\left(\frac{i\cdot\pi}{n+1}\right)\). والصيغة العملية النهائية هي:
$$\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\sum_{i=1}^{n} W_i\cdot g(\text{node}_i)$$
مثال محلول
لنأخذ \(g(x) = \sqrt{1 - x^2}\) على الفترة (-1, 1) مع \(n = 4\). القيمة الدقيقة هي مساحة نصف قرص الوحدة، أي \(\frac{\pi}{2} \approx 1.5707963\). ومجموع المساهمات الأربع يساوي نحو \(1.5708358\) — أي مطابقة للقيمة الحقيقية حتى أربع خانات عشرية بأربع عُقد فقط.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كان a = b؟ تكون الفترة بعرض صفري، فتأتي النتيجة مساوية للصفر تماماً.
وماذا لو كان b أصغر من a؟ تظل القاعدة صالحة وتُعيد قيمة بإشارة، بما يتوافق مع كون التكامل من a إلى b هو سالب التكامل من b إلى a.
لماذا قد تظهر لي رسالة "غير معرّف عند إحدى العُقد"؟ إذا أنتجت الدالة g قيمة غير عددية (NaN) أو لانهائية عند أي عُقدة تربيع (مثل أخذ ln لعدد سالب أو القسمة على صفر)، فلا يمكن حساب النتيجة؛ عندها عدّل الدالة أو الفترة.
