ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بجدولة ورسم دالة بيسل المعدّلة من النوع الثاني، التي تُكتب \(K_{\nu}(x)\). انطلاقًا من رتبة حقيقية ثابتة \(\nu\) ومدى متغيّر من قيم \(x\)، تُعيد جدولًا من عمودين يقابل بين \(x\) وقيمة \(K_{\nu}(x)\)، إضافةً إلى رسم بياني خطي يُظهر كيف تتلاشى الدالة. إنها رياضيات بحتة تنطبق عالميًا دون أي افتراضات إقليمية.
خلفية علمية
دالتا بيسل المعدّلتان هما الحلّان المستقلان لمعادلة بيسل المعدّلة: $$x^2 y'' + x y' - (x^2 + \nu^2)y = 0.$$ الدالة من النوع الأول \(I_{\nu}(x)\) تتزايد، بينما الدالة من النوع الثاني \(K_{\nu}(x)\) تتلاشى أسّيًا. لاحظ أن \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\)، أي أن إشارة الرتبة لا تؤثّر في النتيجة — لذا تستخدم الحاسبة القيمة المطلقة \(|\nu|\) داخليًا.
طريقة الاستخدام
أدخل الرتبة \(\nu\) (أي عدد حقيقي)، والقيمة الابتدائية لـ \(x\)، ومقدار الزيادة الذي يُضاف إلى \(x\) في كل صفّ، وعدد التكرارات (أي عدد نقاط العيّنة لـ \(x\) / صفوف الجدول). يستخدم الصفّ رقم \(i\) القيمة \(x = \text{القيمة الابتدائية} + i\cdot\text{مقدار الزيادة}\). وبما أن \(K_{\nu}(x)\) معرّفة فقط عند \(x > 0\) وتتجه إلى \(+\infty\) عندما \(x \to 0^{+}\)، فإن أي صفّ عند \(x = 0\) (أو \(x\) سالبة) يُسجَّل بالقيمة «ما لا نهاية».
شرح الصيغة
تحسب الحاسبة التمثيل التكاملي $$K_{\nu}(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-x \cosh t}\,\cosh(\nu t)\,dt$$ باستخدام تكامل سيمبسون المركّب. ويُقطع الحدّ الأعلى للتكامل عند النقطة التي يصبح فيها التابع المُكامَل مهملًا (أي عندما يتجاوز \(x\cdot\cosh t\) حوالي 45). لا يحتوي هذا الشكل على أي تفرّد عند الرتب الصحيحة، لذا تُعالَج \(K_0\) و\(K_1\) وما إليها مباشرةً دون مشكلة الصيغة المغلقة 0/0 التي تتضمّن \(I_{\nu}\).
مثال محلول
بأخذ \(\nu = 0\)، والقيمة الابتدائية \(= 0.1\)، ومقدار الزيادة \(= 0.1\)، وعدد التكرارات \(= 3\)، يكون الجدول كالتالي: \(x = 0.1 \rightarrow 2.427069\)، و\(x = 0.2 \rightarrow 1.752704\)، و\(x = 0.3 \rightarrow 1.372460\). وهذه القيم مطابقة للقيم المجدوَلة المعيارية لـ \(K_0\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون القيمة الأولى أحيانًا \(\infty\)؟ لأن \(K_{\nu}(0)\) تتجه إلى ما لا نهاية؛ فاختر قيمة ابتدائية موجبة صغيرة مثل 0.1.
هل تعمل مع الرتبة السالبة؟ نعم — لأن \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\)، فالنتيجة عند \(-\nu\) تساوي النتيجة عند \(\nu\).
لماذا تصبح القيم عند \(x\) الكبيرة مساويةً للصفر؟ لأن \(K_{\nu}(x)\) تتلاشى بمعدل \(\sqrt{\pi/2x}\cdot e^{-x}\)، فتنخفض دون الحدّ الأدنى للتمثيل العددي وتصبح 0 عند قيم \(x\) الكبيرة، وهذا سلوك صحيح.
