ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بإنشاء جدول لدالة بيسل الكروية من النوع الأول، \(j_\nu(x)\)، عند سلسلة من قيم x. تختار أنت الرتبة \(\nu\)، وقيمة x الابتدائية، ومقدار الخطوة، وعدد الصفوف المطلوب توليدها. تُرجع الحاسبة جدولًا من عمودين يضم أزواج \((x، j_\nu(x))\). إنها رياضيات بحتة تُطبَّق بالطريقة نفسها في كل مكان — دون أي افتراضات تتعلق بدولة معينة أو بوحدات قياس.
طريقة الاستخدام
أدخل الرتبة \(\nu\) (ويمكن أن تكون أي عدد حقيقي، مثل 0 أو 1 أو 2 أو 1.5)، والقيمة الابتدائية لـ x، ومقدار الزيادة الذي يُضاف إلى x في كل صف، وعدد الصفوف. يستخدم كل صف k القيمة \(x_k = \text{initialX} + k\cdot\text{stepX}\). يعرض الرقم الرئيسي الأول قيمة \(j_\nu\) عند أول قيمة لـ x، بينما يسرد الجدول كل القيم المولَّدة.
شرح المعادلة
بالنسبة للرتبة الحقيقية العامة:
$$j_\nu(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; J_{\nu+\frac{1}{2}}(x)$$حيث \(J\) هي دالة بيسل العادية من النوع الأول، التي تُحسَب عبر متسلسلتها الأسية مع دالة جاما بطريقة لانكزوس (Lanczos). أما للرتبة الصحيحة فتستخدم الحاسبة الصيغ المغلقة المستقرة عدديًا: \(j_0(x) = \sin(x)/x\) و \(j_1(x) = \sin(x)/x^2 - \cos(x)/x\)، ثم تتدرج صعودًا باستخدام العلاقة التكرارية الصاعدة
$$j_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{x}\cdot j_n(x) - j_{n-1}(x)$$وعند \(x = 0\) يُطبَّق النهاية (الغاية): \(j_0(0) = 1\) و \(j_n(0) = 0\) للرتبة \(\nu > 0\)، وذلك لتجنّب القسمة على صفر.
مثال محلول
الرتبة \(\nu = 0\)، والقيمة الابتدائية \(\text{initialX} = 0\)، والخطوة \(\text{stepX} = 0.2\)، و6 صفوف تعطي \(x = 0، 0.2، 0.4، 0.6، 0.8، 1.0\). وباستخدام \(j_0(x) = \sin(x)/x\) نحصل على: \(j_0(0)=1\)، \(j_0(0.2)=0.993347\)، \(j_0(0.4)=0.973546\)، \(j_0(0.6)=0.941071\)، \(j_0(0.8)=0.896695\)، \(j_0(1.0)=0.841471\) — وهو الشكل المألوف لدالة sinc المتخامدة.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون الرتبة كسرية؟ نعم. الرتبة \(\nu\) غير الصحيحة تستخدم الصيغة المتسلسلة \(\sqrt{\pi/2x}\cdot J\).
لماذا تكون القيمة الأولى مساوية تمامًا للواحد عندما تبدأ x من 0؟ لأن \(j_0(0) = 1\) بحسب النهاية؛ أما للرتبة \(\nu > 0\) فإن النهاية تساوي 0.
هل العلاقة التكرارية الصاعدة آمنة دائمًا؟ بالنسبة للرتب المتوسطة وقيم x المعتادة في جدول كهذا، نعم. أما عندما تكون الرتبة كبيرة جدًا مقارنةً بـ x، فإن العلاقة التكرارية الهابطة تكون أكثر استقرارًا، لكن نادرًا ما يُحتاج إليها هنا.
