حاسبة دالة ويتاكر من النوع الأول M_{k,m}(z)

أدخل الحساب

نتائج

دالة ويتاكر من النوع الأول M_{k,m}(z)

٠٫٠٧٦٨٢٨٠٥٧

M = e^(-z/2) z^(m+1/2) 1F1(m-k+1/2; 2m+1; z)

a = m - k + 1/2	١٫٥
b = 2m + 1	٧

ما هي دالة ويتاكر M_{k,m}(z)؟

دالة ويتاكر من النوع الأول، التي يُرمز لها بـ $M_{k,m}(z)$، هي دالة خاصة تُمثّل حلًّا لمعادلة ويتاكر التفاضلية: $$y'' + \left( \frac{1}{4} - \frac{k}{z} + \frac{m^2 - \frac{1}{4}}{z^2} \right) y = 0.$$ ويتكوّن الحل العام لهذه المعادلة من دمج $M_{k,m}(z)$ مع دالة ويتاكر من النوع الثاني $W_{k,m}(z)$. تُرجع هذه الحاسبة قيمة $M_{k,m}(z)$ فقط، وهو الحل المنتظم المبني على دالة كومر الهندسية الفائقة المتلاقية. وتظهر هذه الدالة في مختلف فروع الفيزياء الرياضية، بما في ذلك دوال موجة كولوم القُطرية ومسائل الأسطوانة المكافئة. وهي رياضيات بحتة تنطبق عالميًّا دون أي افتراضات مرتبطة بمنطقة أو دولة بعينها.

رسم خطي لدالة ويتاكر M ترتفع من نقطة الأصل وتبلغ ذروتها ثم تتلاشى مع زيادة z — الشكل النموذجي لدالة ويتاكر من النوع الأول $M_{k,m}(z)$ عند $z > 0$.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل ثلاثة أعداد حقيقية: المعاملين $k$ و$m$، والوسيط $z$. احرص على أن تكون $z > 0$ حتى يعطي المقدار $z^{m+1/2}$ نتيجة حقيقية عندما تكون $m$ غير صحيحة. وتجنّب قيم $m$ التي تجعل $2m+1$ عددًا صحيحًا غير موجب (مثل $m = 0, -1/2, -1, \ldots$)، لأن ذلك يضع قطبًا في مقام المتسلسلة. ولا يتحكم محدّد الدقة سوى في عدد الأرقام المعروضة؛ أمّا الحساب الأساسي بدقة مزدوجة فيظل دقيقًا للمدخلات المعتدلة (تقريبًا حتى $|z| \approx 30$).

شرح الصيغة

بوضع $a = m - k + \tfrac{1}{2}$ و$b = 2m + 1$، تُكتب الدالة كالآتي: $$M = e^{-z/2} \cdot z^{m+1/2} \cdot {}_1F_1(a; b; z).$$ وتُجمَع المتسلسلة الهندسية الفائقة المتلاقية ${}_1F_1$ حدًّا بحد باستخدام العلاقة التكرارية $$\text{term}_n = \text{term}_{n-1} \cdot \frac{a + n - 1}{b + n - 1} \cdot \frac{z}{n},$$ بدءًا من $\text{term}_0 = 1$. وتُضاف الحدود حتى تصبح ضئيلة جدًّا بالنسبة إلى المجموع الجاري، مع وضع حدٍّ أقصى لتفادي الحلقات اللانهائية.

اعلان

مخطط يفكك صيغة ويتاكر M إلى ثلاثة عوامل مضروبة — $M_{k,m}(z)$ هي حاصل ضرب اضمحلال أسي وعامل قوة ومتسلسلة كومر ${}_1F_1$.

مثال محلول

لنأخذ $k = 2$ و$m = 3$ و$z = 0.5$. عندها يكون $a = 3 - 2 + 0.5 = 1.5$ و$b = 7$. وتتقارب المتسلسلة ${}_1F_1(1.5; 7; 0.5)$ إلى نحو $1.1160881$. أمّا المعامل التمهيدي فهو $e^{-0.25} = 0.7788008$ مضروبًا في $0.5^{3.5} = 0.0883883$، فيعطي $0.0688384$. وبضرب هذا في قيمة المتسلسلة نحصل على $M_{2,3}(0.5) \approx 0.0768344$.

الأسئلة الشائعة

لماذا يجب أن تكون z موجبة؟ عندما يكون $m + 1/2$ غير صحيح، يكون العامل $z^{m+1/2}$ متعدد القيم أو عقديًّا عند $z \le 0$، لذا تتطلب النتيجة الحقيقية أن تكون $z > 0$. وعند $z = 0$ تساوي الدالة صفرًا إذا كان $m + 1/2 > 0$.

ماذا لو كان 2m+1 عددًا صحيحًا غير موجب؟ عندئذ يصبح رمز بوخهامر في المقام مساويًا للصفر، فتغدو المتسلسلة غير معرّفة؛ وتُرجع الحاسبة القيمة 0، وعليك تغيير قيمة $m$.

هل تتقارب المتسلسلة دائمًا؟ نعم، فالدالة ${}_1F_1$ كاملة (متحللة) بالنسبة إلى $z$، غير أنها تتقارب ببطء عند القيم الكبيرة لـ $|z|$ وقد تفقد بعض الدقة في حسابات الدقة المزدوجة الاعتيادية.

الآلات الحاسبة ذات الصلة