Калькулятор функции Уиттекера первого рода M_{k,m}(z)

Введите расчет

k (параметр)

m (параметр)

z (аргумент, z > 0)

Точность вывода (значащие цифры) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Результатов

Функция Уиттекера первого рода M_{k,m}(z)

0,076828057

M = e^(−z/2) z^(m+1/2) 1F1(m−k+1/2; 2m+1; z)

a = m − k + 1/2	1,5
b = 2m + 1	7

Что такое функция Уиттекера M_{k,m}(z)?

Функция Уиттекера первого рода \(M_{k,m}(z)\) — это специальная функция, которая является решением дифференциального уравнения Уиттекера: \(y'' + \left( \frac{1}{4} - \frac{k}{z} + \frac{m^2 - \frac{1}{4}}{z^2} \right) y = 0\). Общее решение этого уравнения представляет собой линейную комбинацию \(M_{k,m}(z)\) и функции Уиттекера второго рода \(W_{k,m}(z)\). Данный калькулятор вычисляет только \(M_{k,m}(z)\) — регулярное решение, построенное на основе вырожденной гипергеометрической функции Куммера. Эта функция встречается во многих разделах математической физики, в частности в радиальных кулоновских волновых функциях и задачах с параболическим цилиндром. Это чистая математика, применимая универсально, без каких-либо допущений, зависящих от страны или региона.

Типичная форма функции Уиттекера первого рода \(M_{k,m}(z)\) при \(z > 0\).

Как пользоваться калькулятором

Введите три действительных числа: параметры \(k\) и \(m\), а также аргумент \(z\). Используйте \(z > 0\), чтобы выражение \(z^{m+1/2}\) давало действительный результат для нецелых \(m\). Избегайте таких значений \(m\), при которых \(2m+1\) становится неположительным целым числом (\(m = 0, -1/2, -1, \ldots\)), поскольку это приводит к появлению полюса в знаменателе ряда. Селектор точности влияет только на количество отображаемых знаков; сами вычисления выполняются с двойной точностью и дают надёжный результат при умеренных входных данных (примерно при \(|z|\) до 30).

Разбор формулы

Положив \(a = m - k + \frac{1}{2}\) и \(b = 2m + 1\), функцию можно записать как $$M = e^{-z/2} \cdot z^{m+\frac{1}{2}} \cdot {}_1F_1(a; b; z).$$ Вырожденный гипергеометрический ряд \({}_1F_1\) суммируется почленно с помощью рекуррентного соотношения $$\text{term}_n = \text{term}_{n-1} \cdot \frac{a + n - 1}{b + n - 1} \cdot \frac{z}{n},$$ где начальный член \(\text{term}_0 = 1\). Слагаемые добавляются до тех пор, пока их вклад не становится пренебрежимо малым по сравнению с накопленной суммой; число итераций ограничено, чтобы избежать бесконечного цикла.

Реклама

\(M_{k,m}(z)\) — произведение экспоненциального затухания, степенного множителя и ряда Куммера \({}_1F_1\).

Разбор примера

Возьмём \(k = 2\), \(m = 3\), \(z = 0{,}5\). Тогда \(a = 3 - 2 + 0{,}5 = 1{,}5\) и \(b = 7\). Ряд \({}_1F_1(1{,}5; 7; 0{,}5)\) сходится примерно к \(1{,}1160881\). Множитель перед рядом равен \(e^{-0{,}25} = 0{,}7788008\), умноженному на \(0{,}5^{3{,}5} = 0{,}0883883\), что даёт \(0{,}0688384\). Умножая на значение ряда, получаем \(M_{2,3}(0{,}5) \approx 0{,}0768344\).

Частые вопросы

Почему z должно быть положительным? При нецелом \(m + \frac{1}{2}\) множитель \(z^{m+1/2}\) для \(z \le 0\) становится многозначным или комплексным, поэтому для получения действительного результата требуется \(z > 0\). В точке \(z = 0\) функция равна 0, если \(m + \frac{1}{2} > 0\).

Что будет, если 2m+1 — неположительное целое число? В этом случае символ Похгаммера в знаменателе обращается в ноль, и ряд становится неопределённым; калькулятор возвращает 0, и вам следует изменить значение \(m\).

Всегда ли ряд сходится? Да, функция \({}_1F_1\) является целой по \(z\), однако при больших \(|z|\) она сходится медленно и может терять точность при обычной двойной точности вычислений.