Что вычисляет этот калькулятор
Этот инструмент строит таблицу значений модифицированной функции Бесселя первого рода, обозначаемой \(I_{v}(x)\), при фиксированном вещественном порядке \(v\) для ряда значений \(x\). Вы задаёте порядок, начальное значение \(x\), шаг (приращение) и число строк; калькулятор формирует последовательность \(x_{i} = \text{начало} + i\cdot\text{шаг}\), вычисляет \(I_{v}(x_{i})\) в каждой точке и выдаёт как таблицу, так и график. Это чисто математический инструмент для работы со специальной функцией, он применим везде одинаково (без региональных правил и единиц измерения).
Формула
Модифицированная функция Бесселя \(I_{v}(x)\) является решением модифицированного уравнения Бесселя \(x^{2}y'' + xy' - (x^{2} + v^{2})y = 0\). Здесь она вычисляется через степенной ряд:
$$I_{v}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\;\Gamma(v+k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{v+2k}$$Факториал и гамма-функция позволяют брать \(v\) любым вещественным числом. Для численной устойчивости каждый член ряда вычисляется в логарифмическом масштабе с использованием аппроксимации Ланцоша для \(\ln \Gamma\), после чего суммирование продолжается, пока слагаемые не станут пренебрежимо малыми.
Как пользоваться
Введите Порядок v (например, 0, 1 или 2,5), Начальное значение x, Приращение, добавляемое к \(x\) в каждой строке, и Число повторений (количество строк). Нажмите «Рассчитать» — вы получите таблицу из двух столбцов (\(x\) и \(I_{v}(x)\)) и график на том же диапазоне.
Разобранный пример
При \(v = 0\), начало = 0, шаг = 0,5, число = 5 получаем \(x = 0,\ 0{,}5,\ 1,\ 1{,}5,\ 2\) и:
$$I_{0}(0) = 1,\quad I_{0}(0{,}5) \approx 1{,}0634834,\quad I_{0}(1) \approx 1{,}2660658,\quad I_{0}(1{,}5) \approx 1{,}6467232,\quad I_{0}(2) \approx 2{,}2795853$$Эти значения совпадают со стандартными справочными таблицами.
Частые вопросы
Может ли порядок быть отрицательным или нецелым? Да. Для отрицательного целого порядка используется тождество \(I_{-n}(x) = I_{n}(x)\). Нецелые значения \(v\) поддерживаются при \(x \geq 0\); для \(x < 0\) при нецелом \(v\) значение становится комплексным, поэтому возвращается NaN.
Почему \(I_{v}(x)\) растёт так быстро? В отличие от осциллирующей обычной функции Бесселя \(J_{v}\), модифицированная функция при больших \(x\) растёт примерно как \(e^{x}/\sqrt{2\pi x}\), поэтому при больших \(x\) результат может уйти в бесконечность (переполнение).
Чему равно \(I_{v}(0)\)? \(I_{0}(0) = 1\), а \(I_{v}(0) = 0\) при \(v > 0\).
