Что такое калькулятор таблицы функции Бесселя Y?
Этот инструмент строит таблицу значений функции Бесселя второго рода, которую также называют функцией Вебера или Неймана и обозначают \(Y_{\nu}(x)\). Она представляет собой второе линейно независимое решение дифференциального уравнения Бесселя. При фиксированном вещественном порядке \(\nu\) калькулятор вычисляет \(Y_{\nu}(x)\) в последовательности точек \(x\), заданной начальным значением, шагом и количеством точек, и формирует полную числовую таблицу.
Как пользоваться
Укажите порядок \(\nu\) (он может быть нецелым или отрицательным), начальное значение \(x\), шаг между точками и число итераций (строк). Калькулятор строит сетку \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\) для \(i\) от 0 до \(\text{pointCount} - 1\) и выводит \(Y_{\nu}(x)\) в каждой точке. Учтите, что \(Y_{\nu}(x)\) уходит в минус бесконечность при \(x = 0\) и принимает вещественные значения только при \(x > 0\), поэтому любая строка с \(x \le 0\) помечается как неопределённая.
Формула
Для нецелого порядка:
$$Y_{\nu}(x) = \lim_{\mu \to \nu} \frac{J_{\mu}(x)\cos(\mu\pi) - J_{-\mu}(x)}{\sin(\mu\pi)}$$Для целого порядка \(n\) предельный переход даёт замкнутую форму с логарифмическим членом \(J_n(x)\cdot\ln(x/2)\), конечной поправкой в виде степенного ряда и рядом с дигамма-функцией. Функция первого рода \(J_{\nu}(x)\) суммируется по своему степенному ряду, а гамма-функция вычисляется по аппроксимации Ланцоша.
Разбор примера
При \(\nu = 0\), \(\text{startX} = 0\), \(\text{stepX} = 0{,}2\), \(\text{pointCount} = 51\) строки охватывают значения \(x\) от 0,0 до 10,0. \(Y_0(0)\) не определено (\(-\infty\)), \(Y_0(0{,}2) \approx -1{,}0811\), \(Y_0(1{,}0) \approx 0{,}0883\), \(Y_0(2{,}0) \approx 0{,}5104\), а \(Y_0(10{,}0) \approx 0{,}0557\). В итоговой строке «первое конечное значение» указывается \(-1{,}0811\).
Частые вопросы
Почему первая строка не определена? Функция \(Y_{\nu}(x)\) имеет особенность в точке \(x = 0\) и расходится к \(-\infty\), поэтому конечного значения там нет.
Может ли порядок быть отрицательным? Да. Для отрицательного целого порядка действует симметрия \(Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x)\); для отрицательного нецелого порядка применяется общая формула напрямую.
Насколько точны результаты? Ряды суммируются до тех пор, пока слагаемые не станут меньше машинной точности, что даёт примерно 6–7 значащих цифр при умеренных значениях \(x\).
Определения и Глоссарий
- Порядок \(\nu\)
-
Параметр (поле
order), который индексирует семейство функций Бесселя. Это может быть любое вещественное число. Целые порядки (0, 1, 2, …) наиболее часто встречаются в физических задачах с цилиндрической симметрией; полуцелые порядки дают сферические функции Бесселя. - Функция Бесселя второго рода \(Y_\nu(x)\)
- Также называется функцией Вебера или Неймана (иногда обозначается \(N_\nu\)). Это решение уравнения Бесселя, которое неограниченно (имеет особенность) в начале координат. Для нецелого \(\nu\) определяется как \(Y_\nu(x) = \dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}\), целый случай получается предельным переходом.
- \(J_\nu\) против \(Y_\nu\)
- \(J_\nu(x)\) (первого рода) конечна при \(x=0\); \(Y_\nu(x)\) (второго рода) расходится к \(-\infty\) при \(x\to 0^+\). Вместе они образуют полную пару независимых решений уравнения Бесселя.
- Дифференциальное уравнение Бесселя
- Линейное ОДУ \(x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0\). Его общее решение имеет вид \(y = c_1 J_\nu(x) + c_2 Y_\nu(x)\).
- Гамма-функция \(\Gamma(z)\)
- Непрерывное расширение факториала, \(\Gamma(n+1) = n!\), появляющееся в коэффициентах ряда для \(J_\nu\) и \(Y_\nu\).
- Дигамма-функция \(\psi(z)\)
- Логарифмическая производная \(\psi(z) = \Gamma'(z)/\Gamma(z)\). Она явно появляется в ряде для целых порядков \(Y_n(x)\), который содержит логарифмический член \(\tfrac{2}{\pi}\ln(x/2)J_n(x)\) плюс взвешенные по дигамме коэффициенты.
- Аппроксимация Ланцоша
- Высокоточный численный метод вычисления гамма-функции \(\Gamma(z)\) для комплексного или вещественного аргумента, обычно используемый внутри процедур вычисления функций Бесселя для расчёта коэффициентов рядов.
- Линейно независимое решение
- Второе решение, которое не может быть выражено как постоянное кратное первому. Поскольку \(J_\nu\) одна не может представить решения, имеющие особенность в начале координат, \(Y_\nu\) поставляет независимое дополнение, необходимое для общего решения.
