Что считает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет модифицированные сферические функции Бесселя первого рода iv(x) и второго рода kv(x), а также их первые производные i'v(x) и k'v(x) для неотрицательного целого порядка v и положительного вещественного аргумента x. Это чисто математические специальные функции — они одинаковы во всём мире и не зависят ни от региона, ни от выбора единиц измерения.
Теория и формулы
Эти функции являются решениями модифицированного сферического уравнения Бесселя \(x^{2}w'' + 2xw' - (x^{2} + v(v+1))w = 0\). С цилиндрическими модифицированными функциями Бесселя их связывает сдвиг порядка на половину: \(i_v(x) = \sqrt{\pi/2x}\cdot I_{v+1/2}(x)\) и \(k_v(x) = \sqrt{2/\pi x}\cdot K_{v+1/2}(x)\). Поскольку добавка \(+1/2\) делает порядок полуцелым при целом \(v\), функции сводятся к элементарным выражениям через \(\sinh\), \(\cosh\) и \(\exp\). В качестве начальных значений берём
$$i_0 = \frac{\sinh x}{x}, \quad i_1 = \frac{\cosh x}{x} - \frac{\sinh x}{x^{2}}, \quad k_0 = \frac{\pi}{2x}\,e^{-x}, \quad k_1 = \frac{\pi}{2x}\,e^{-x}\!\left(1 + \frac{1}{x}\right)$$после чего поднимаемся по рекуррентному соотношению до нужного порядка.
$$i_{n+1} = i_{n-1} - \frac{2n+1}{x}\,i_n, \qquad k_{n+1} = k_{n-1} + \frac{2n+1}{x}\,k_n$$Производные находятся по формуле
$$f'_v = -f_{v+1} + \frac{v}{x}\,f_v$$то есть
$$i_v^{\prime}(x) = -\,i_{v+1}(x) + \frac{v}{x}\,i_v(x), \qquad k_v^{\prime}(x) = -\,k_{v+1}(x) + \frac{v}{x}\,k_v(x)$$
Как пользоваться
Введите целый порядок v (0, 1, 2, …) и аргумент x, где \(x > 0\), и получите четыре результата. Обратите внимание: здесь используется соглашение \(k_v(x)=\sqrt{2/\pi x}\,K_{v+1/2}(x)\), которое и даёт множитель \(\pi/2\) в \(k_0\); в некоторых источниках он опускается.
Разобранный пример (v = 0, x = 2)
\(i_0(2)=\sinh(2)/2=3{,}6268604/2=1{,}8134302\). \(i_1(2)=\cosh(2)/2-\sinh(2)/4=1{,}8810978-0{,}9067151=0{,}9743827\), поэтому \(i'_0(2)=-i_1(2)=-0{,}9743827\). \(k_0(2)=(\pi/4)e^{-2}=0{,}1062930\), \(k_1(2)=k_0\cdot 1{,}5=0{,}1594394\), поэтому \(k'_0(2)=-k_1(2)=-0{,}1594394\).
Частые вопросы
Можно ли задать нецелый порядок v? Этот вещественный вариант поддерживает только неотрицательные целые порядки, при которых функции выражаются элементарно. Для нецелых порядков требуется полный расчёт функций Бесселя I/K.
Почему x должен быть положительным? \(k_v(x)\) расходится при \(x\rightarrow 0\), а при \(x<0\) результаты становятся комплексными, поэтому вещественная версия требует \(x > 0\).
Чем iv отличается от kv? \(i_v\) экспоненциально растёт и конечна в начале координат; \(k_v\) экспоненциально убывает и имеет особенность в нуле.
