ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة حساب دوال بِسِل الكروية المعدّلة من النوع الأول \(i_v(x)\) والنوع الثاني \(k_v(x)\)، إضافةً إلى مشتقاتها الأولى \(i'_v(x)\) و\(k'_v(x)\)، لرتبة صحيحة غير سالبة \(v\) وقيمة حقيقية موجبة \(x\). وهذه دوال خاصة بحتة في الرياضيات، تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان دون أي افتراضات إقليمية أو متعلقة بالوحدات.
الخلفية والصيغة
تُعدّ هذه الدوال حلولاً لمعادلة بِسِل الكروية المعدّلة: $$x^2 w'' + 2x w' - (x^2 + v(v+1))w = 0.$$ وترتبط بدوال بِسِل الأسطوانية المعدّلة عبر إزاحة في الرتبة بمقدار نصف صحيح: $$i_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,I_{v+1/2}(x)$$ وأيضاً $$k_v(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,K_{v+1/2}(x).$$ وبما أنّ إضافة \(1/2\) تجعل الرتبة نصف صحيحة عندما تكون \(v\) عدداً صحيحاً، فإنّ الدوال تختزل إلى تعابير أولية بدلالة \(\sinh\) و\(\cosh\) و\(\exp\). نبدأ بالقيم الابتدائية \(i_0=\sinh(x)/x\)، و\(i_1=\cosh(x)/x-\sinh(x)/x^2\)، و\(k_0=(\pi/2x)e^{-x}\)، و\(k_1=(\pi/2x)e^{-x}(1+1/x)\)، ثم نتدرّج تصاعدياً حتى نصل إلى الرتبة المطلوبة. أما المشتقات فتُحسب وفق العلاقة \(f'_v = -f_{v+1} + (v/x)f_v\).
طريقة الاستخدام
أدخِل الرتبة الصحيحة \(v\) (0، 1، 2، …) والوسيط \(x\) بشرط \(x > 0\)، ثم اقرأ النتائج الأربع. لاحظ أنّ الاصطلاح المعتمد هنا يستخدم \(k_v(x)=\sqrt{2/\pi x}\,K_{v+1/2}(x)\)، وهو ما يُدخل العامل \(\pi/2\) الظاهر في \(k_0\)؛ وتُغفل بعض المراجع هذا العامل.
مثال محلول (\(v = 0\)، \(x = 2\))
\(i_0(2)=\sinh(2)/2=3.6268604/2=1.8134302\). و\(i_1(2)=\cosh(2)/2-\sinh(2)/4=1.8810978-0.9067151=0.9743827\)، ومن ثَمّ \(i'_0(2)=-i_1(2)=-0.9743827\). وأيضاً \(k_0(2)=(\pi/4)e^{-2}=0.1062930\)، و\(k_1(2)=k_0\cdot 1.5=0.1594394\)، ومن ثَمّ \(k'_0(2)=-k_1(2)=-0.1594394\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني استخدام رتبة \(v\) غير صحيحة؟ تدعم هذه الأداة ذات القيم الحقيقية الرتب الصحيحة غير السالبة فقط، حيث تكون الدوال أولية. أما الرتب غير الصحيحة فتتطلب حساباً كاملاً لدوال بِسِل \(I/K\).
لماذا يجب أن تكون \(x\) موجبة؟ تتباعد \(k_v(x)\) عندما تؤول \(x\) إلى الصفر، وتصبح النتائج عقدية عندما تكون \(x < 0\)، لذا فإنّ النسخة الحقيقية تتطلب \(x > 0\).
ما الفرق بين \(i_v\) و\(k_v\)؟ تنمو \(i_v\) نمواً أسّياً وهي منتظمة عند نقطة الأصل؛ بينما تتلاشى \(k_v\) تلاشياً أسّياً وهي شاذّة عند نقطة الأصل.
