Ce que fait ce calculateur
Cet outil évalue les fonctions de Bessel sphériques modifiées de première espèce \(i_v(x)\) et de seconde espèce \(k_v(x)\), ainsi que leurs dérivées premières \(i'_v(x)\) et \(k'_v(x)\), pour un ordre entier \(v\) positif ou nul et un argument réel \(x\) strictement positif. Ce sont des fonctions spéciales purement mathématiques : elles s'appliquent de façon identique partout, sans aucune hypothèse régionale ni d'unité.
Contexte et formule
Ces fonctions sont solutions de l'équation de Bessel sphérique modifiée \(x^2 w'' + 2x w' - (x^2 + v(v+1))w = 0\). Elles sont reliées aux fonctions de Bessel modifiées cylindriques par un décalage d'ordre d'un demi-entier : \(i_v(x) = \sqrt{\pi/2x}\cdot I_{v+1/2}(x)\) et \(k_v(x) = \sqrt{2/\pi x}\cdot K_{v+1/2}(x)\). Comme le décalage de \(+1/2\) rend l'ordre demi-entier lorsque \(v\) est entier, ces fonctions se réduisent à des expressions élémentaires en sinh, cosh et exp. On part des valeurs initiales $$i_0 = \frac{\sinh x}{x}, \quad i_1 = \frac{\cosh x}{x} - \frac{\sinh x}{x^{2}}$$ $$k_0 = \frac{\pi}{2x}\,e^{-x}, \quad k_1 = \frac{\pi}{2x}\,e^{-x}\!\left(1 + \frac{1}{x}\right)$$ puis on monte par récurrence jusqu'à l'ordre demandé : $$i_{n+1} = i_{n-1} - \frac{2n+1}{x}\,i_n, \qquad k_{n+1} = k_{n-1} + \frac{2n+1}{x}\,k_n$$ Les dérivées s'obtiennent par $$i_v^{\prime}(x) = -\,i_{v+1}(x) + \frac{v}{x}\,i_v(x), \qquad k_v^{\prime}(x) = -\,k_{v+1}(x) + \frac{v}{x}\,k_v(x)$$
Mode d'emploi
Saisissez l'ordre entier \(v\) (0, 1, 2, …) et l'argument \(x\) avec \(x > 0\), puis lisez les quatre résultats. Notez que la convention adoptée ici est \(k_v(x)=\sqrt{2/\pi x}\,K_{v+1/2}(x)\), qui introduit le facteur \(\pi/2\) visible dans \(k_0\) ; certaines références l'omettent.
Exemple détaillé (v = 0, x = 2)
\(i_0(2)=\sinh(2)/2=3{,}6268604/2=1{,}8134302\). \(i_1(2)=\cosh(2)/2-\sinh(2)/4=1{,}8810978-0{,}9067151=0{,}9743827\), d'où \(i'_0(2)=-i_1(2)=-0{,}9743827\). \(k_0(2)=(\pi/4)e^{-2}=0{,}1062930\), \(k_1(2)=k_0\cdot 1{,}5=0{,}1594394\), d'où \(k'_0(2)=-k_1(2)=-0{,}1594394\).
FAQ
Puis-je utiliser un ordre \(v\) non entier ? Cette implémentation à valeurs réelles prend en charge les ordres entiers positifs ou nuls, pour lesquels les fonctions sont élémentaires. Les ordres non entiers nécessitent une évaluation complète des fonctions de Bessel \(I/K\).
Pourquoi \(x\) doit-il être positif ? \(k_v(x)\) diverge lorsque \(x\to 0\) et les résultats deviennent complexes pour \(x<0\) ; la version réelle exige donc \(x > 0\).
Quelle est la différence entre \(i_v\) et \(k_v\) ? \(i_v\) croît de façon exponentielle et reste régulière à l'origine ; \(k_v\) décroît de façon exponentielle et est singulière à l'origine.
