Ce que fait ce calculateur
Cet outil tabule et trace la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce, notée \(K_{\nu}(x)\). À partir d'un ordre réel \(\nu\) fixé et d'un balayage de valeurs de \(x\), il renvoie une table à deux colonnes (\(x\) en regard de \(K_{\nu}(x)\)) accompagnée d'un graphique linéaire illustrant la décroissance de la fonction. Il s'agit de mathématiques pures, applicables partout, sans aucune hypothèse régionale.
Contexte
Les fonctions de Bessel modifiées sont les deux solutions indépendantes de l'équation de Bessel modifiée \(x^2 y'' + x y' - (x^2 + \nu^2)y = 0\). La première espèce \(I_{\nu}(x)\) croît, tandis que la seconde espèce \(K_{\nu}(x)\) décroît exponentiellement. Notez que \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\) : le signe de l'ordre n'a donc aucune importance — le calculateur utilise \(|\nu|\) en interne.
Comment l'utiliser
Saisissez l'Ordre \(\nu\) (n'importe quel nombre réel), la Valeur initiale de \(x\), l'Incrément ajouté à \(x\) à chaque ligne, et le Nombre de répétitions (le nombre de points d'échantillonnage de \(x\) / de lignes du tableau). La ligne \(i\) utilise $$x = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}.$$ Comme \(K_{\nu}(x)\) n'est définie que pour \(x > 0\) et diverge vers \(+\infty\) lorsque \(x \to 0^{+}\), une ligne pour \(x = 0\) (ou \(x\) négatif) affiche Infinity.
La formule expliquée
Le calculateur évalue la représentation intégrale $$K_{\nu}(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-x \cosh t}\,\cosh\!\left(\nu\, t\right)\,dt$$ à l'aide de la quadrature composite de Simpson. La borne supérieure est tronquée là où l'intégrande devient négligeable (lorsque \(x \cdot \cosh t\) dépasse environ 45). Cette forme ne présente aucune singularité aux ordres entiers : \(K_0\), \(K_1\), \(\ldots\) sont donc traités directement, sans le problème de l'indétermination \(0/0\) propre à la forme fermée faisant intervenir \(I_{\nu}\).
Exemple résolu
Avec \(\nu = 0\), \(\text{startX} = 0{,}1\), \(\text{stepX} = 0{,}1\) et \(\text{iterations} = 3\), la table est : $$x = 0{,}1 \rightarrow 2{,}427069 \,;\quad x = 0{,}2 \rightarrow 1{,}752704 \,;\quad x = 0{,}3 \rightarrow 1{,}372460.$$ Ces valeurs correspondent aux valeurs tabulées de référence de \(K_0\).
FAQ
Pourquoi la première valeur vaut-elle parfois \(\infty\) ? Parce que \(K_{\nu}(0)\) diverge ; choisissez une petite valeur de startX strictement positive, par exemple 0,1.
Un ordre négatif fonctionne-t-il ? Oui — \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\), donc le résultat pour \(-\nu\) est identique à celui pour \(\nu\).
Pourquoi les valeurs pour des \(x\) élevés deviennent-elles nulles ? \(K_{\nu}(x)\) décroît comme \(\sqrt{\pi/2x} \cdot e^{-x}\) ; elle passe donc en dépassement par valeur inférieure (underflow) jusqu'à 0 pour les grands \(x\), ce qui est tout à fait correct.
