Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, \(K_{\nu}(x)\) ile gösterilen ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonunu tablolaştırır ve çizdirir. Sabit bir gerçek \(\nu\) mertebesi ve bir x değer aralığı verdiğinizde, x'e karşılık \(K_{\nu}(x)\) değerlerini içeren iki sütunlu bir tablonun yanı sıra fonksiyonun nasıl söndüğünü gösteren bir çizgi grafiği üretir. Tamamen matematikseldir; herhangi bir bölgesel varsayım içermez ve evrensel olarak geçerlidir.
Arka plan
Modifiye Bessel fonksiyonları, \(x^{2}y'' + xy' - (x^{2} + \nu^{2})y = 0\) biçimindeki modifiye Bessel denkleminin birbirinden bağımsız iki çözümüdür. Birinci tür \(I_{\nu}(x)\) büyürken, ikinci tür \(K_{\nu}(x)\) üstel olarak söner. Dikkat edin: \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\) olduğundan mertebenin işareti önemli değildir; hesaplayıcı dahili olarak \(|\nu|\) değerini kullanır.
Nasıl kullanılır?
Mertebe \(\nu\) değerini (herhangi bir gerçek sayı), x'in başlangıç değerini, her satırda x'e eklenecek artış miktarını ve tekrar sayısını (x örnek nokta / tablo satırı adedi) girin. i. satır \(x = \text{başlangıçX} + i\cdot\text{adımX}\) değerini kullanır. \(K_{\nu}(x)\) yalnızca \(x > 0\) için tanımlı olduğundan ve \(x\to 0^{+}\) iken \(+\infty\)'a ıraksadığından, x = 0 (veya negatif x) içeren bir satır Infinity (sonsuz) olarak gösterilir.
Formülün açıklaması
Hesaplayıcı, $$K_{\nu}(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-x \cosh t}\,\cosh\!\left(\nu\, t\right)\,dt$$ integral gösterimini bileşik Simpson kuralı ile sayısal olarak hesaplar. Üst sınır, integrand ihmal edilebilir hale geldiğinde (\(x\cdot\cosh t\) değeri yaklaşık 45'i aştığında) kesilir. Bu biçimin tam sayı mertebelerde tekilliği olmadığından \(K_{0}, K_{1}, \dots\) doğrudan hesaplanır; \(I_{\nu}\) içeren kapalı formdaki 0/0 sorunu ortaya çıkmaz.
Çözümlü örnek
\(\nu = 0\), başlangıçX = 0.1, adımX = 0.1, tekrar = 3 için tablo şöyledir: \(x = 0.1 \rightarrow 2.427069\), \(x = 0.2 \rightarrow 1.752704\), \(x = 0.3 \rightarrow 1.372460\). Bu değerler, \(K_{0}\) için standart tablolardaki değerlerle örtüşür.
Sıkça sorulan sorular
İlk değer neden bazen \(\infty\) çıkıyor? Çünkü \(K_{\nu}(0)\) ıraksar; başlangıçX olarak 0.1 gibi küçük bir pozitif değer seçin.
Negatif mertebe çalışır mı? Evet — \(K_{\nu}(x) = K_{-\nu}(x)\) olduğundan \(-\nu\) için elde edilen sonuç \(\nu\) için elde edilen sonuca eşittir.
Büyük x değerlerinde neden 0 çıkıyor? \(K_{\nu}(x)\), \(\sqrt{\pi/2x}\cdot e^{-x}\) gibi söndüğünden büyük x değerlerinde alt taşma (underflow) ile 0'a iner; bu beklenen ve doğru bir davranıştır.
