İkinci Tür Küresel Bessel Fonksiyonu Tablo Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Mertebe v

x'in başlangıç değeri

x artış miktarı (adım)

Tekrar sayısı (satır)

Sonuç

First value y_v(x) (order v = 0)

-4,900333

ikinci tür küresel Bessel fonksiyonu

x	yv(x)
0.0000	undefined
0.2000	-4.900333
0.4000	-2.302652
0.6000	-1.375559
0.8000	-0.870883
1.0000	-0.540302
1.2000	-0.301965
1.4000	-0.121405
1.6000	0.018250
1.8000	0.126223
2.0000	0.208073
2.2000	0.267501
2.4000	0.307247
2.6000	0.329573
2.8000	0.336508
3.0000	0.329997
3.2000	0.311967
3.4000	0.284352
3.6000	0.249100
3.8000	0.208149
4.0000	0.163411
4.2000	0.116729
4.4000	0.069848
4.6000	0.024381
4.8000	-0.018229
5.0000	-0.056732
5.2000	-0.090099
5.4000	-0.117536
5.6000	-0.138494
5.8000	-0.152676
6.0000	-0.160028
6.2000	-0.160733
6.4000	-0.155185
6.6000	-0.143975
6.8000	-0.127853
7.0000	-0.107700
7.2000	-0.084493
7.4000	-0.059263
7.6000	-0.033061
7.8000	-0.006917
8.0000	0.018188
8.2000	0.041360
8.4000	0.061820
8.6000	0.078921
8.8000	0.092170
9.0000	0.101237
9.2000	0.105961
9.4000	0.106350
9.6000	0.102572
9.8000	0.094941
10.0000	0.083907

İkinci Tür Küresel Bessel Fonksiyonu Nedir?

\(y_v(x)\) ile gösterilen ikinci tür küresel Bessel fonksiyonu, \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\) şeklindeki küresel Bessel diferansiyel denkleminin bir çözümüdür. Fizikte çok geniş bir kullanım alanı vardır: saçılma teorisi, kuantum mekaniği (serbest parçacık için radyal Schrödinger denklemi) ile küresel simetriye sahip elektromanyetik ve akustik dalga problemlerinde sıkça karşımıza çıkar. Birinci tür fonksiyon \(j_v(x)\)'in aksine, ikinci tür \(y_v(x)\) fonksiyonu \(x\) sıfıra yaklaşırken eksi sonsuza ıraksar.

Spherical Bessel functions of the second kind y_v(x) for orders v=0,1,2, showing the singularity as x approaches 0 and decaying oscillations.

Bu Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?

\(v\) mertebesini (herhangi bir reel sayı olabilir; en sık küçük negatif olmayan tam sayılar kullanılır), \(x\)'in başlangıç değerini, ardışık \(x\) değerleri arasındaki adımı ve oluşturulacak satır sayısını girin. Araç, \(x\) ve \(y_v(x)\) değerlerinden oluşan bir tablo ile sonucun grafiğini hazırlar. \(x = 0\) tekil bir nokta olduğundan, \(x \le 0\) olan her satır "tanımsız" olarak gösterilir.

Formül

Bu fonksiyon, ikinci tür silindirik Bessel fonksiyonundan türetilir:

$$y_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; Y_{v+\frac{1}{2}}(x)$$

Tam sayı mertebeler için temel kapalı formlar geçerlidir; örneğin \(y_0(x) = -\cos(x)/x\) ve \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\). Daha yüksek mertebeler ise ileri yönlü yineleme bağıntısıyla bulunur:

$$y_{v+1}(x) = \frac{2v+1}{x}\,y_v(x) - y_{v-1}(x)$$

Reklam

The spherical function y_v(x) is obtained from the ordinary Bessel function Y of half-integer-shifted order times a scaling factor.

Çözümlü Örnek

\(v = 1\) mertebesi ve başlangıç \(x = 2\) için:

$$y_1(2) = -\frac{\cos(2)}{4} - \frac{\sin(2)}{2} = -\frac{-0{,}4161468}{4} - \frac{0{,}9092974}{2} = 0{,}1040367 - 0{,}4546487 = -0{,}3506120$$

\(v = 0\) ve \(x = 1, 2, 3\) için ise sonuçlar sırasıyla \(-0{,}540302\), \(0{,}208073\) ve \(0{,}329998\) olur.

Sıkça Sorulan Sorular

\(x = 0\) neden tanımsızdır? \(\sqrt{\pi/(2x)}\) çarpanı ve \(1/x\)'li terimler bu noktada sonsuza gittiğinden \(y_v(0) = -\infty\) olur.

\(x\) negatif olabilir mi? Standart reel tanıma göre \(y_v(x)\) yalnızca \(x > 0\) için reeldir; negatif \(x\) değerleri tanımsız olarak gösterilir.

Büyük \(x\) değerlerinde ne olur? Fonksiyon, \(1/x\) ile sönümlenen bir genlikle salınım yapar: \(y_v(x) \approx -\cos(x - (v+1)\pi/2)/x\).