什么是第二类球贝塞尔函数？
第二类球贝塞尔函数记作 \(y_v(x)\)，是球贝塞尔微分方程 \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\) 的一个解。它在物理学中应用广泛——常见于散射理论、量子力学（自由粒子的径向薛定谔方程），以及具有球对称性的电磁波和声波问题。与第一类函数 \(j_v(x)\) 不同，第二类函数 \(y_v(x)\) 在 \(x\) 趋近于 0 时会发散到负无穷。
如何使用本计算器
请输入阶数 \(v\)（可为任意实数，其中较小的非负整数最为常用）、\(x\) 的起始值、相邻 \(x\) 值之间的步长，以及要生成的行数。本工具会据此生成 \(x\) 与 \(y_v(x)\) 的对照表，并绘制相应图像。由于 \(x = 0\) 是奇点，任何 \(x \le 0\) 的行都会显示为"未定义"。
计算公式
该函数由第二类柱贝塞尔函数定义：
$$y_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; Y_{v+\frac{1}{2}}(x)$$当阶数为整数时，可使用初等闭式表达，例如 \(y_0(x) = -\cos(x)/x\)，\(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\)。更高阶数可通过向前递推公式求得：
$$y_{v+1}(x) = \frac{2v+1}{x}\cdot y_v(x) - y_{v-1}(x)$$
计算实例
取阶数 \(v = 1\)，起始 \(x = 2\)：
$$y_1(2) = -\frac{\cos(2)}{4} - \frac{\sin(2)}{2} = -\frac{-0.4161468}{4} - \frac{0.9092974}{2} = 0.1040367 - 0.4546487 = -0.3506120$$再取 \(v = 0\)，当 \(x = 1, 2, 3\) 时，结果分别为 \(-0.540302\)、\(0.208073\)、\(0.329998\)。
常见问题
为什么 \(x = 0\) 时未定义？ 因式 \(\sqrt{\pi/(2x)}\) 和 \(1/x\) 项都会趋于无穷，所以 \(y_v(0) = -\infty\)。
\(x\) 可以取负值吗？ 在标准实数约定下，只有当 \(x > 0\) 时 \(y_v(x)\) 才为实数；\(x\) 为负数时会显示为未定义。
当 \(x\) 很大时会怎样？ 函数会以 \(1/x\) 的振幅衰减并持续振荡：\(y_v(x) \approx -\cos(x - (v+1)\pi/2)/x\)。
