什麼是第二類球貝索函數？
第二類球貝索函數記作 \(y_v(x)\)，是球貝索微分方程 \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\) 的一組解。它在物理學中應用極廣——舉凡散射理論、量子力學（自由粒子的徑向薛丁格方程），以及具有球對稱性的電磁波與聲波問題，都會見到它的身影。與第一類函數 \(j_v(x)\) 不同，第二類函數 \(y_v(x)\) 在 \(x\) 趨近於 0 時會發散至負無窮大。
如何使用本計算器
請輸入階數 \(v\)（可為任意實數，但最常用的是較小的非負整數）、\(x\) 的起始值、相鄰兩個 \(x\) 之間的間距（步長），以及要產生的列數。本工具會建立 \(x\) 與 \(y_v(x)\) 的數值表，並繪製對應圖形。由於 \(x = 0\) 為奇異點，凡 \(x \le 0\) 的列都會標示為「未定義」。
計算公式
本函數由第二類圓柱貝索函數定義而來：
$$y_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; Y_{v+\frac{1}{2}}(x)$$對於整數階數，可使用初等的封閉形式，例如 \(y_0(x) = -\cos(x)/x\) 與 \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\)。更高階則可透過向前遞迴關係求得：
$$y_{v+1}(x) = \frac{2v+1}{x}\cdot y_v(x) - y_{v-1}(x)$$
實例演算
以階數 \(v = 1\)、起始 \(x = 2\) 為例：
$$y_1(2) = -\frac{\cos(2)}{4} - \frac{\sin(2)}{2} = -\frac{-0.4161468}{4} - \frac{0.9092974}{2} = 0.1040367 - 0.4546487 = -0.3506120$$若 \(v = 0\) 且 \(x = 1, 2, 3\)，則分別得到 \(-0.540302\)、\(0.208073\)、\(0.329998\)。
常見問題
為什麼 \(x = 0\) 是未定義的？因為 \(\sqrt{\pi/(2x)}\) 這個因子與各個 \(1/x\) 項都會發散，所以 \(y_v(0) = -\infty\)。
\(x\) 可以是負數嗎？在標準的實數慣例下，\(y_v(x)\) 僅在 \(x > 0\) 時為實數；負的 \(x\) 會被標示為未定義。
當 \(x\) 很大時會如何？函數會以 \(1/x\) 的衰減包絡持續振盪：\(y_v(x) \approx -\cos(x - (v+1)\pi/2)/x\)。
