第2種球ベッセル関数とは
第2種球ベッセル関数は \(y_v(x)\) と書かれ、球ベッセルの微分方程式 \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\) の解の一つです。散乱理論、量子力学（自由粒子に対する動径シュレーディンガー方程式）、球対称の電磁波・音響波の問題など、物理学のさまざまな場面で登場します。第1種関数 \(j_v(x)\) とは異なり、第2種の \(y_v(x)\) は \(x\) が 0 に近づくと負の無限大に発散するのが特徴です。
このツールの使い方
次数 \(v\)（任意の実数。小さい非負整数が最もよく使われます）、\(x\) の初期値、\(x\) の刻み幅、生成する行数を入力してください。\(x\) と \(y_v(x)\) の数表と、そのグラフが作成されます。\(x = 0\) は特異点となるため、\(x \le 0\) となる行は「定義されない」と表示されます。
計算式
この関数は第2種円柱ベッセル関数を用いて次のように定義されます。 $$y_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; Y_{v+\frac{1}{2}}(x)$$ 整数次数の場合は初等関数による閉じた形が使えます。例えば \(y_0(x) = -\cos(x)/x\)、\(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\) です。より高い次数は、前進漸化式 $$y_{v+1}(x) = \frac{2v+1}{x}\, y_v(x) - y_{v-1}(x)$$ で求められます。
計算例
次数 \(v = 1\)、初期値 \(x = 2\) の場合：$$y_1(2) = -\frac{\cos(2)}{4} - \frac{\sin(2)}{2} = -\frac{-0.4161468}{4} - \frac{0.9092974}{2} = 0.1040367 - 0.4546487 = -0.3506120$$ となります。\(v = 0\) で \(x = 1, 2, 3\) のときは、それぞれ \(-0.540302\)、\(0.208073\)、\(0.329998\) が得られます。
よくある質問
なぜ \(x = 0\) は定義されないのですか？ 係数 \(\sqrt{\pi/(2x)}\) と \(1/x\) の項が発散するため、\(y_v(0) = -\infty\) となります。
\(x\) に負の値を指定できますか？ 標準的な実数の定義では \(y_v(x)\) が実数となるのは \(x > 0\) の場合のみで、負の \(x\) は「定義されない」と表示されます。
\(x\) が大きいときはどうなりますか？ 関数は \(1/x\) で減衰する包絡線をもって振動します： $$y_v(x) \approx -\frac{\cos\left(x - \frac{(v+1)\pi}{2}\right)}{x}$$
