حاسبة جدول دالة بيسل الكروية من النوع الثاني

أدخل الحساب

الرتبة v

القيمة الابتدائية لـ x

مقدار الزيادة في x (الخطوة)

عدد التكرارات (الصفوف)

نتائج

First value y_v(x) (order v = ٠)

؜-٤٫٩٠٠٣٣٣

دالة بيسل الكروية من النوع الثاني

x	yv(x)
0.0000	undefined
0.2000	-4.900333
0.4000	-2.302652
0.6000	-1.375559
0.8000	-0.870883
1.0000	-0.540302
1.2000	-0.301965
1.4000	-0.121405
1.6000	0.018250
1.8000	0.126223
2.0000	0.208073
2.2000	0.267501
2.4000	0.307247
2.6000	0.329573
2.8000	0.336508
3.0000	0.329997
3.2000	0.311967
3.4000	0.284352
3.6000	0.249100
3.8000	0.208149
4.0000	0.163411
4.2000	0.116729
4.4000	0.069848
4.6000	0.024381
4.8000	-0.018229
5.0000	-0.056732
5.2000	-0.090099
5.4000	-0.117536
5.6000	-0.138494
5.8000	-0.152676
6.0000	-0.160028
6.2000	-0.160733
6.4000	-0.155185
6.6000	-0.143975
6.8000	-0.127853
7.0000	-0.107700
7.2000	-0.084493
7.4000	-0.059263
7.6000	-0.033061
7.8000	-0.006917
8.0000	0.018188
8.2000	0.041360
8.4000	0.061820
8.6000	0.078921
8.8000	0.092170
9.0000	0.101237
9.2000	0.105961
9.4000	0.106350
9.6000	0.102572
9.8000	0.094941
10.0000	0.083907

ما هي دالة بيسل الكروية من النوع الثاني؟

دالة بيسل الكروية من النوع الثاني، التي تُكتب \(y_v(x)\)، هي حل لمعادلة بيسل الكروية التفاضلية \(x^2 w'' + 2xw' + (x^2 - v(v+1))w = 0\). وتظهر هذه الدالة في مختلف فروع الفيزياء — في نظرية التشتت، وميكانيكا الكم (معادلة شرودنغر القطرية لجسيم حر)، وفي مسائل الموجات الكهرومغناطيسية والصوتية ذات التماثل الكروي. وعلى خلاف دالة النوع الأول \(j_v(x)\)، فإن دالة النوع الثاني \(y_v(x)\) تتباعد نحو سالب اللانهاية عندما تقترب \(x\) من الصفر.

Spherical Bessel functions of the second kind y_v(x) for orders v=0,1,2, showing the singularity as x approaches 0 and decaying oscillations.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل الرتبة \(v\) (أي عدد حقيقي؛ والأعداد الصحيحة الصغيرة غير السالبة هي الأكثر شيوعاً)، والقيمة الابتدائية لـ \(x\)، والخطوة بين قيم \(x\) المتتالية، وعدد الصفوف المراد توليدها. تبني الأداة جدولاً يضم قيم \(x\) و \(y_v(x)\) إلى جانب مخطط بياني للنتيجة. وبما أن \(x = 0\) تمثل نقطة شاذة، فإن أي صف تكون فيه \(x \le 0\) يُعرض على أنه «غير معرّف».

الصيغة الرياضية

تُعرَّف الدالة انطلاقاً من دالة بيسل الأسطوانية من النوع الثاني:

$$y_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; Y_{v+\frac{1}{2}}(x)$$

وبالنسبة للرتب الصحيحة تنطبق الصيغ المغلقة الأولية، مثل \(y_0(x) = -\cos(x)/x\) و \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \sin(x)/x\). أما الرتب الأعلى فتُحسب باستخدام علاقة التكرار الأمامية

$$y_{v+1}(x) = \frac{2v+1}{x}\cdot y_v(x) - y_{v-1}(x)$$

اعلان

The spherical function y_v(x) is obtained from the ordinary Bessel function Y of half-integer-shifted order times a scaling factor.

مثال محلول

للرتبة \(v = 1\) وبدءاً من \(x = 2\):

$$y_1(2) = -\frac{\cos(2)}{4} - \frac{\sin(2)}{2} = -\frac{-0.4161468}{4} - \frac{0.9092974}{2} = 0.1040367 - 0.4546487 = -0.3506120$$

وللرتبة \(v = 0\) عند \(x = 1, 2, 3\) تحصل على القيم \(-0.540302\) و \(0.208073\) و \(0.329998\).

الأسئلة الشائعة

لماذا تكون \(x = 0\) غير معرّفة؟ لأن العامل \(\sqrt{\pi/(2x)}\) والحدود التي تحتوي على \(1/x\) تتباعد نحو اللانهاية، ومن ثَمّ \(y_v(0) = -\infty\).

هل يمكن أن تكون \(x\) سالبة؟ في الاصطلاح الحقيقي القياسي تكون \(y_v(x)\) حقيقية فقط عندما \(x > 0\)؛ أما قيم \(x\) السالبة فتُعرض على أنها غير معرّفة.

ماذا يحدث عند قيم \(x\) الكبيرة؟ تتذبذب الدالة ضمن غلاف متناقص مقداره \(1/x\): \(y_v(x) \approx -\cos(x - (v+1)\pi/2)/x\).