ما هي حاسبة جدول دالة الخطأ؟
تتيح لك هذه الأداة إنشاء جدول لدالة الخطأ لغاوس \(\operatorname{erf}(x)\) ودالة الخطأ المكمّلة \(\operatorname{erfc}(x)\) على امتداد سلسلة من قيم \(x\). وتظهر دالة الخطأ في كثير من مجالات الاحتمالات والإحصاء ومسائل التوصيل الحراري والانتشار. وهي دالة رياضية بحتة (من الدوال الخاصة)، ومن ثَمّ فإنها تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان دون اختلاف باختلاف الدول.
طريقة الاستخدام
أدخل ثلاثة أرقام: القيمة الابتدائية لـ x (وهي الصف الأول)، ومقدار الزيادة الذي يُضاف إلى x مع كل صف لاحق، وعدد التكرارات (الصفوف). تولّد الحاسبة القيم وفق المعادلة $$x_i = \text{Initial }x + i \cdot \text{Increment}, \quad i = 0,1,\dots,\text{Rows}-1$$ وتعرض قيمتَي \(\operatorname{erf}(x)\) و \(\operatorname{erfc}(x)\) لكل صف. ويمكن أن يكون مقدار الزيادة سالباً (فيكون الجدول تنازلياً) أو صفراً (فتتطابق جميع الصفوف).
الصيغة الرياضية
$$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt, \qquad \operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)$$ تُحسب القيم باستخدام التقريب الكسري 7.1.26 من مرجع أبراموفيتز وستيغن (Abramowitz & Stegun)، الذي لا يتجاوز خطؤه الأقصى نحو \(1.5\times10^{-7}\)، مع الاستعانة بخاصية التماثل الفردي \(\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x)\) في حالة القيم السالبة.
مثال محلول
إذا أدخلت القيمة الابتدائية 0 ومقدار الزيادة 0.5 وعدد الصفوف 5، فستحصل على القيم \(x = 0,\ 0.5,\ 1.0,\ 1.5,\ 2.0\). عندئذٍ تكون \(\operatorname{erf}(1.0) \approx 0.8427008\) و \(\operatorname{erfc}(1.0) \approx 0.1572992\)، ويتحقق فعلاً أن \(\operatorname{erf}(1.0) + \operatorname{erfc}(1.0) = 1\)، وهو ما يؤكّد صحة المتطابقة.
الأسئلة الشائعة
ما النطاق الذي تأخذه قيم erf؟ تقع \(\operatorname{erf}(x)\) ضمن المجال \((-1, 1)\)؛ فـ \(\operatorname{erf}(0) = 0\)، و \(\operatorname{erf}(+\infty) = 1\)، و \(\operatorname{erf}(-\infty) = -1\).
وماذا عن erfc؟ تقع \(\operatorname{erfc}(x)\) ضمن المجال \((0, 2)\): فـ \(\operatorname{erfc}(0) = 1\)، و \(\operatorname{erfc}(+\infty) = 0\)، و \(\operatorname{erfc}(-\infty) = 2\).
كم عدد الصفوف الذي يمكنني توليده؟ يجب أن يكون عدد الصفوف عدداً صحيحاً موجباً؛ وقد حُدّد سقف الجدول عند 2000 صف للحفاظ على وضوح النتائج وسهولة التعامل معها.
