ما هي دالة ستروف؟
دالة ستروف \(\mathbf{H}_{v}(x)\) هي دالة خاصة تظهر بوصفها حلاً جزئياً لمعادلة بيسل غير المتجانسة. وتبرز في مسائل الصوتيات وديناميكا الموائع والبصريات والكهرومغناطيسية، وكثيراً ما تظهر جنباً إلى جنب مع دوال بيسل الاعتيادية. تنشئ هذه الحاسبة جدولاً لقيم \(\mathbf{H}_{v}(x)\) من أي رتبة حقيقية \(v\) عبر متتالية مختارة من قيم \(x\)، بحيث تتمكن من تتبّع سلوكها المتذبذب والمتناقص ببطء. وهي رياضيات بحتة قابلة للتطبيق في كل مكان، من دون أي اعتماد على منطقة جغرافية أو نظام وحدات.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل أربع قيم: الرتبة v (رتبة دالة ستروف)، والقيمة الابتدائية لـ x (الوسيط الأول)، ومقدار الزيادة (الفارق بين قيم x المتتالية)، وعدد التكرارات (عدد الصفوف المطلوب إنشاؤها). يعرض الجدول بعد ذلك كل وسيط \(x_{i} = \text{startX} + i \times \text{stepX}\) والقيمة المقابلة له \(\mathbf{H}_{v}(x_{i})\). وبالقيم الافتراضية (v = 0، البداية = -10، الخطوة = 0.2، العدد = 101) تحصل على 101 نقطة تمسح x من -10 إلى +10.
شرح الصيغة
تُحسب القيمة مباشرة من سلسلة القوى الموضحة أعلاه:
$$\mathbf{H}_{v}(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{v+1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}}{\Gamma\!\left(k+\frac{3}{2}\right)\,\Gamma\!\left(k+v+\frac{3}{2}\right)}$$فإذا كتبنا \(t = x/2\)، يكون المعامل الأمامي \(t^{v+1}\)، ويساوي كل حدّ \((-1)^{k} t^{2k}\) مقسوماً على حاصل ضرب دالتي غاما: \(\Gamma(k + \tfrac{3}{2})\) و\(\Gamma(k + v + \tfrac{3}{2})\). وتُحسب دالة غاما باستخدام تقريب لانكزوس المستقر عددياً، مع تطبيق صيغة الانعكاس \(\Gamma(z) = \pi / (\sin(\pi z)\, \Gamma(1 - z))\) عندما يكون وسيطها غير موجب. وتتقارب السلسلة المتناوبة بسرعة عند القيم المعتدلة لـ \(|x|\).
مثال محلول
لنأخذ \(v = 0\) وx = 2، فيكون \(t = 1\) والمعامل الأمامي يساوي 1. وبجمع حدود السلسلة نحصل على \(1.273240 - 0.565884 + 0.090542 - 0.007391 + 0.000365 - \ldots \approx 0.79066\). ومن ثمّ فإن \(\mathbf{H}_{0}(2) \approx 0.79066\)، وهي القيمة المطابقة للمرجع القياسي.
الأسئلة الشائعة
ما قيمة \(\mathbf{H}_{v}(0)\)؟ عند أي رتبة \(v > -1\)، ينعدم المعامل الأمامي \((x/2)^{v+1}\) عند \(x = 0\)، ولذلك فإن \(\mathbf{H}_{v}(0) = 0\).
هل يمكنني استخدام رتب سالبة أو غير صحيحة؟ نعم. عند قيم x السالبة مع رتبة v غير صحيحة تصبح الدالة مركّبة، ولهذا تُعرض تلك الصفوف على أنها «ليست عدداً» (NaN)؛ أما عند v = 0 أو الرتب الصحيحة فيبقى الجدول كله حقيقياً.
ما مدى دقتها؟ السلسلة المباشرة دقيقة للغاية ضمن النطاق الافتراضي. أما عند القيم الكبيرة جداً لـ \(|x|\) (أبعد من نحو 30) فيلزم عدد كبير من الحدود، ويكون التوسّع التقاربي أفضل في هذه الحالة.
