ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب حاسبة المسافة بين نقطتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد طول الخط المستقيم (المسافة الإقليدية) الفاصل بين أي نقطتين في الفضاء الديكارتي ثلاثي الأبعاد. كل ما عليك هو إدخال إحداثيات X وY وZ لكل نقطة، لتعرض لك الأداة المسافة بدقة تصل إلى ستة أرقام عشرية، إضافةً إلى الخطوات الوسيطة للحساب. الإحداثيات هنا مجرّدة بلا وحدة محددة، لذا تحمل المسافة الناتجة الوحدة نفسها التي افترضتها للمدخلات (أمتار، أقدام، بكسل، وما إلى ذلك).
طريقة الاستخدام
أدخل إحداثيات النقطة الأولى في الحقول X1 وY1 وZ1، وإحداثيات النقطة الثانية في الحقول X2 وY2 وZ2. يمكن أن تكون القيم الست جميعها موجبة أو سالبة، صحيحة أو عشرية. اضغط على زر الحساب واقرأ المسافة من مربع النتيجة المميّز. لا يهم ترتيب النقطتين، لأن كل فرق يُرفع إلى التربيع.
شرح القانون
يُعدّ قانون المسافة ثلاثية الأبعاد امتدادًا لنظرية فيثاغورس على ثلاثة محاور:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
أنت تحسب الفرق على طول كل محور، ثم تربّع كل فرق (وهو ما يُلغي الإشارة)، ثم تجمع المربعات الثلاثة معًا، وأخيرًا تأخذ الجذر التربيعي للمجموع. تكون المسافة دائمًا صفرًا أو قيمة موجبة، ولا تساوي الصفر إلا عندما تتطابق النقطتان. ولحساب المسافة في بُعدين فقط، اجعل قيمتي Z متساويتين (مثلًا كلتاهما صفر).
مثال محلول
بالنسبة إلى النقطتين (7، 4، 3) و(17، 6، 2): تكون الفروق 10 و2 و-1. ومربعاتها 100 و4 و1، ومجموعها 105. فتكون المسافة \(\sqrt{105} = 10.246951\). وفي مثال ثانٍ، (5، 6، 2) و(-7، 11، -13)، تكون الفروق -12 و5 و-15، ومربعاتها 144 و25 و225، ومجموعها 394، إذن \(d = \sqrt{394} = 19.849433\).
التعاريف والمسرد
تصف المصطلحات أدناه المفاهيم والمتغيرات المستخدمة عند حساب المسافة على خط مستقيم بين نقطتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
- مسافة إقليدس — المسافة على خط مستقيم (الأقصر) بين نقطتين، تُقاس "كما يطير الغراب" عبر الفضاء بدلاً من المحاور أو المسار المنحني. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم الحصول عليها من خلال \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\).
- إحداثيات ديكارت — نظام يحدد موضع نقطة باستخدام مسافات موقّعة من ثلاثة محاور متعامدة بشكل متبادل (X، Y، Z) تلتقي عند الأصل \((0,0,0)\). تُكتب النقطة كمجموعة مرتبة \((x, y, z)\).
- \(x_1, y_1, z_1\) — إحداثيات X، Y، و Z للنقطة الأولى، \(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\).
- \(x_2, y_2, z_2\) — إحداثيات X، Y، و Z للنقطة الثانية، \(P_2 = (x_2, y_2, z_2)\).
- دلتا (\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)) — التغيير أو الفرق في كل إحداثي بين النقطتين: \(\Delta x = x_2 - x_1\)، \(\Delta y = y_2 - y_1\)، و \(\Delta z = z_2 - z_1\). نظراً لأن كل دلتا تُرفع إلى القوة الثانية، فإن ترتيب الطرح (وبالتالي الإشارة) لا يؤثر على المسافة النهائية.
- قطر الفضاء — أطول خط مستقيم عبر صندوق مستطيل (متوازي السطوح)، يمتد بين الزوايا المتقابلة. إذا كان للصندوق أطوال حواف \(\Delta x\)، \(\Delta y\)، و \(\Delta z\)، فإن قطر الفضاء يساوي المسافة ثلاثية الأبعاد \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) — وهي بالضبط القيمة التي تُرجعها هذه الآلة الحاسبة.
- العلاقة بنظرية فيثاغورس — صيغة المسافة ثلاثية الأبعاد هي نظرية فيثاغورس المطبقة مرتين. أولاً، القطر عبر مستوى قاعدة X-Y هو \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\). بمعاملة هذا القطر والإزاحة الرأسية \(\Delta z\) كضلعي مثلث قائم الزاوية ثانٍ، نحصل على \(d = \sqrt{\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)^2 + \Delta z^2} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\). المسافة ثلاثية الأبعاد هي أيضاً حجم المتجه \(\langle \Delta x, \Delta y, \Delta z \rangle\).
المسافة عبر أزواج نقاط مختلفة
يعالج الجدول أدناه عدة أزواج نقاط تمثيلية باستخدام الصيغة \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\). يسرد كل صف الفروقات لكل محور ومجموع مربعاتها والمسافة الناتجة. لاحظ أن النقاط المتطابقة تعطي مسافة صفر، وأن الإحداثيات السالبة لا تزال تعطي مسافة موجبة لأن كل دلتا تُرفع إلى القوة الثانية.
| السيناريو | \(P_1\) | \(P_2\) | \(\Delta x\) | \(\Delta y\) | \(\Delta z\) | مجموع المربعات | المسافة \(d\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| محاذي المحاور (X فقط) | (0, 0, 0) | (5, 0, 0) | 5 | 0 | 0 | 25 | 5 |
| محاذي المحاور (Z فقط) | (2, 3, 1) | (2, 3, 9) | 0 | 0 | 8 | 64 | 8 |
| قطر المكعب الوحدوي | (0, 0, 0) | (1, 1, 1) | 1 | 1 | 1 | 3 | \(\sqrt{3} \approx 1.732\) |
| ثلاثية فيثاغورية صحيحة | (0, 0, 0) | (1, 2, 2) | 1 | 2 | 2 | 9 | 3 |
| قطر عام | (1, 2, 3) | (4, 6, 15) | 3 | 4 | 12 | 169 | 13 |
| مع أرقام سالبة | (-2, -3, -1) | (1, 1, -1) | 3 | 4 | 0 | 25 | 5 |
| نقاط متطابقة | (7, -4, 2) | (7, -4, 2) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
بالنسبة لصف "القطر العام"، الاستبدال الكامل هو \(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (15-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).
الأسئلة الشائعة
هل يؤثر ترتيب النقطتين في النتيجة؟ لا. بما أن كل فرق بين الإحداثيات يُرفع إلى التربيع، فإن تبديل النقطتين يعطي المسافة نفسها.
ما الوحدة التي تظهر بها النتيجة؟ تكون النتيجة بالوحدة نفسها التي استخدمتها للإحداثيات؛ فالحاسبة لا تجري أي تحويل للوحدات.
هل يمكنني استخدام إحداثيات سالبة؟ نعم. الأعداد الصحيحة والعشرية السالبة مدعومة بالكامل في جميع القيم الست.
