Qué hace esta calculadora
La calculadora de distancia entre dos puntos en 3D obtiene la distancia en línea recta (euclidiana) entre dos puntos cualesquiera del espacio cartesiano tridimensional. Introduce las coordenadas X, Y y Z de cada punto y la herramienta devuelve la distancia con seis decimales, junto con los pasos intermedios. Las coordenadas son adimensionales, así que la distancia resultante hereda la unidad que tú asignes a los datos de entrada (metros, pies, píxeles, etc.).
Cómo usarla
Escribe las coordenadas del primer punto en los campos X1, Y1 y Z1, y las del segundo punto en X2, Y2 y Z2. Los seis valores pueden ser positivos, negativos, enteros o decimales. Pulsa calcular y lee la distancia en el recuadro de resultado destacado. El orden de los dos puntos es indiferente, porque cada diferencia se eleva al cuadrado.
La fórmula explicada
La fórmula de la distancia en 3D extiende el teorema de Pitágoras a tres ejes:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
Calculas la diferencia a lo largo de cada eje, elevas al cuadrado cada diferencia (lo que elimina el signo), sumas los tres cuadrados y extraes la raíz cuadrada de esa suma. La distancia siempre es cero o positiva, y solo vale cero cuando los dos puntos coinciden. Si quieres calcular una distancia en 2D, basta con dar el mismo valor a ambas coordenadas Z (por ejemplo, 0 en las dos).
Ejemplo resuelto
Para los puntos (7, 4, 3) y (17, 6, 2): las diferencias son 10, 2 y -1. Sus cuadrados son 100, 4 y 1, que suman 105. La distancia es $$\sqrt{105} = 10.246951.$$ Un segundo ejemplo, (5, 6, 2) y (-7, 11, -13), da diferencias -12, 5 y -15, cuadrados 144, 25 y 225, suma 394, por lo que $$d = \sqrt{394} = 19.849433.$$
Definiciones y Glosario
Los términos que aparecen a continuación describen los conceptos y variables que se utilizan al calcular la distancia en línea recta entre dos puntos en el espacio tridimensional.
- Distancia euclidiana — La distancia en línea recta (más corta) entre dos puntos, medida «en línea recta» a través del espacio en lugar de a lo largo de ejes o una ruta curva. En 3D viene dada por \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\).
- Coordenadas cartesianas — Un sistema que localiza un punto utilizando distancias con signo desde tres ejes mutuamente perpendiculares (X, Y, Z) que se encuentran en el origen \((0,0,0)\). Un punto se escribe como una terna ordenada \((x, y, z)\).
- \(x_1, y_1, z_1\) — Las coordenadas X, Y y Z del primer punto, \(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\).
- \(x_2, y_2, z_2\) — Las coordenadas X, Y y Z del segundo punto, \(P_2 = (x_2, y_2, z_2)\).
- Delta (\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)) — El cambio, o diferencia, en cada coordenada entre los dos puntos: \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\) y \(\Delta z = z_2 - z_1\). Como cada delta se eleva al cuadrado, el orden de la sustracción (y por lo tanto el signo) no afecta la distancia final.
- Diagonal espacial — La línea recta más larga a través de una caja rectangular (paralelepípedo), que va entre esquinas opuestas. Si una caja tiene longitudes de arista \(\Delta x\), \(\Delta y\) y \(\Delta z\), su diagonal espacial es igual a la distancia 3D \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) — exactamente el valor que devuelve esta calculadora.
- Relación con el teorema de Pitágoras — La fórmula de distancia 3D es el teorema de Pitágoras aplicado dos veces. Primero, la diagonal a través del plano base X-Y es \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\). Si se trata esa diagonal y el desplazamiento vertical \(\Delta z\) como los dos catetos de un segundo triángulo rectángulo, se obtiene \(d = \sqrt{\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)^2 + \Delta z^2} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\). La distancia 3D es también la magnitud del vector \(\langle \Delta x, \Delta y, \Delta z \rangle\).
Distancia Entre Diferentes Pares de Puntos
La tabla siguiente desarrolla varios pares de puntos representativos a través de la fórmula \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\). Cada fila enumera las diferencias por eje, la suma de sus cuadrados y la distancia resultante. Tenga en cuenta que los puntos coincidentes generan una distancia de cero, y que las coordenadas negativas aún producen una distancia positiva porque cada delta se eleva al cuadrado.
| Escenario | \(P_1\) | \(P_2\) | \(\Delta x\) | \(\Delta y\) | \(\Delta z\) | Suma de cuadrados | Distancia \(d\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Alineado con los ejes (solo X) | (0, 0, 0) | (5, 0, 0) | 5 | 0 | 0 | 25 | 5 |
| Alineado con los ejes (solo Z) | (2, 3, 1) | (2, 3, 9) | 0 | 0 | 8 | 64 | 8 |
| Diagonal de cubo unitario | (0, 0, 0) | (1, 1, 1) | 1 | 1 | 1 | 3 | \(\sqrt{3} \approx 1.732\) |
| Terna pitagórica limpia | (0, 0, 0) | (1, 2, 2) | 1 | 2 | 2 | 9 | 3 |
| Diagonal general | (1, 2, 3) | (4, 6, 15) | 3 | 4 | 12 | 169 | 13 |
| Con valores negativos | (-2, -3, -1) | (1, 1, -1) | 3 | 4 | 0 | 25 | 5 |
| Puntos coincidentes | (7, -4, 2) | (7, -4, 2) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Para la fila «diagonal general», la sustitución completa es \(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (15-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).
Preguntas frecuentes
¿El orden de los puntos cambia el resultado? No. Como cada diferencia de coordenadas se eleva al cuadrado, intercambiar los dos puntos produce la misma distancia.
¿En qué unidad está la respuesta? El resultado está en la misma unidad que usaste para las coordenadas; la calculadora no realiza ninguna conversión de unidades.
¿Puedo usar coordenadas negativas? Sí. Se admiten enteros y decimales negativos en los seis valores.
