Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la distancia en línea recta, también llamada distancia euclidiana, entre dos puntos de un plano cartesiano bidimensional. Introduce las coordenadas del punto 1 como (x1, y1) y las del punto 2 como (x2, y2), y la calculadora te devuelve la distancia tanto en forma de radical exacto simplificado (por ejemplo, \(2\sqrt{34}\)) como en decimal redondeado a seis cifras, junto con todo el desarrollo paso a paso.
Cómo usarla
Escribe cada coordenada en su casilla correspondiente. Los valores son coordenadas sin unidades sobre un mismo plano, así que no hace falta elegir ninguna unidad. Puedes introducir números enteros, decimales, negativos y fracciones. Las fracciones simples como 3/4 y las fracciones mixtas como 2 1/2 se convierten automáticamente a decimales antes de aplicar la fórmula. El orden de los dos puntos es indiferente: al elevar al cuadrado las diferencias, cualquier signo desaparece.
La fórmula explicada
La fórmula de la distancia es una aplicación directa del teorema de Pitágoras. La variación horizontal es \(dx = x_2 - x_1\) y la variación vertical es \(dy = y_2 - y_1\). Estas dos diferencias son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es justamente la distancia:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
Para expresar el resultado de forma exacta, definimos \(S = dx^2 + dy^2\). Cuando \(S\) es un número entero, buscamos el mayor entero \(k\) cuyo cuadrado divida a \(S\), escribimos \(S = k^2 \cdot m\) y obtenemos \(d = k\sqrt{m}\). Si \(m = 1\), la distancia es el número entero \(k\) (un cuadrado perfecto); si \(k = 1\), el resultado queda como \(\sqrt{m}\).
Ejemplo resuelto
Para \((x_1, y_1) = (-2, 3)\) y \((x_2, y_2) = (4, -7)\): \(dx = 4 - (-2) = 6\) y \(dy = -7 - 3 = -10\). Entonces $$S = 6^2 + (-10)^2 = 36 + 100 = 136.$$ Como \(136 = 4 \cdot 34\) y \(4 = 2^2\), tenemos \(k = 2\) y \(m = 34\), por lo que la distancia exacta es \(2\sqrt{34} \approx 11.661904\).
Preguntas frecuentes
¿Importa el orden de los puntos? No. Las diferencias se elevan al cuadrado, así que intercambiar los dos puntos da exactamente la misma distancia.
¿Y si los dos puntos son iguales? La distancia es simplemente 0, sin ningún error.
¿Puedo introducir fracciones? Sí: se admiten tanto las fracciones simples (3/4) como las mixtas (2 1/2). Cuando los valores son fraccionarios y \(S\) no es un número entero, solo se muestra el valor decimal.
