यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी द्वि-आयामी (2D) कार्तीय तल पर दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा, यानी यूक्लिडियन दूरी की गणना करता है। बिंदु 1 के निर्देशांक (x1, y1) और बिंदु 2 के निर्देशांक (x2, y2) के रूप में दर्ज करें, और कैलकुलेटर आपको दूरी दो रूपों में देगा — एक सटीक सरलीकृत मूल रूप में (जैसे \(2\sqrt{34}\)) और दूसरा छह दशमलव स्थानों तक गोल किए गए दशमलव मान में, साथ ही पूरा चरण-दर-चरण हल भी।
इसका उपयोग कैसे करें
हर निर्देशांक को उसके बॉक्स में टाइप करें। ये एक ही तल पर मौजूद इकाई-रहित (unitless) निर्देशांक होते हैं, इसलिए किसी इकाई को चुनने की ज़रूरत नहीं है। आप पूर्णांक, दशमलव, ऋणात्मक संख्याएँ और भिन्न (fractions) दर्ज कर सकते हैं। साधारण भिन्न जैसे 3/4 और मिश्रित भिन्न जैसे 2 1/2 सूत्र लागू करने से पहले अपने आप दशमलव में बदल दिए जाते हैं। दोनों बिंदुओं का क्रम मायने नहीं रखता — अंतर का वर्ग करने पर कोई भी चिह्न (sign) समाप्त हो जाता है।
सूत्र की व्याख्या
दूरी का सूत्र दरअसल पाइथागोरस प्रमेय का सीधा अनुप्रयोग है। क्षैतिज (horizontal) बदलाव \(dx = x_2 - x_1\) होता है और ऊर्ध्वाधर (vertical) बदलाव \(dy = y_2 - y_1\)। ये दोनों एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ बनाते हैं, जिसका कर्ण (hypotenuse) ही दूरी है:
$$d = \sqrt{dx^2 + dy^2}$$
उत्तर को सटीक रूप में दर्शाने के लिए, मान लें \(S = dx^2 + dy^2\)। जब S एक पूर्ण संख्या हो, तो हम वह सबसे बड़ा पूर्णांक k ढूँढते हैं जिसका वर्ग S को विभाजित करता हो, फिर \(S = k^2 \cdot m\) लिखते हैं और \(d = k\sqrt{m}\) बताते हैं। यदि \(m = 1\) हो तो दूरी पूर्ण संख्या k होती है (पूर्ण वर्ग); और यदि \(k = 1\) हो तो यह \(\sqrt{m}\) के रूप में ही रहती है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \((x_1, y_1) = (-2, 3)\) और \((x_2, y_2) = (4, -7)\): तब \(dx = 4 - (-2) = 6\) और \(dy = -7 - 3 = -10\)। इसलिए $$S = 6^2 + (-10)^2 = 36 + 100 = 136$$ चूँकि \(136 = 4 \cdot 34\) और \(4 = 2^2\), इसलिए \(k = 2\) और \(m = 34\) मिलता है, यानी सटीक दूरी \(2\sqrt{34} \approx 11.661904\) होगी।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या बिंदुओं का क्रम मायने रखता है? नहीं। अंतर का वर्ग किया जाता है, इसलिए दोनों बिंदुओं को आपस में बदलने पर भी दूरी वही रहती है।
अगर दोनों बिंदु एक ही हों तो? तब दूरी बस 0 होती है, कोई त्रुटि नहीं आती।
क्या मैं भिन्न दर्ज कर सकता हूँ? हाँ — साधारण भिन्न (3/4) और मिश्रित भिन्न (2 1/2) दोनों समर्थित हैं। जब इनपुट भिन्न के रूप में हों और S पूर्ण संख्या न हो, तो केवल दशमलव मान ही दिखाया जाता है।
