3D स्पेस में दो रेखाओं के बीच दूरी कैलकुलेटर

संबंध	Lines are skew

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल त्रिविमीय (3D) स्पेस में दो सीधी रेखाओं के बीच की सबसे छोटी (न्यूनतम) दूरी निकालता है। हर रेखा को उससे गुज़रने वाले एक बिंदु P = (a, b, c) और उसके समांतर एक दिशा सदिश V = (p, q, r) से दर्शाया जाता है — यानी वही जानकारी जो सममित रूप $(x-a)/p = (y-b)/q = (z-c)/r$ में होती है। यह एक शुद्ध विश्लेषणात्मक ज्यामिति (analytic geometry) का टूल है जो हर जगह समान रूप से लागू होता है, इसमें कोई इकाई या किसी देश-विशेष का नियम नहीं है।

3D में दो विषमतलीय रेखाएँ जिनके बीच सबसे छोटी लंबवत दूरी d है — सबसे छोटी दूरी $d$ वह लंबवत खंड है जो दोनों रेखाओं को जोड़ता है।

इसका उपयोग कैसे करें

पहली रेखा के लिए बिंदु P1 के तीनों निर्देशांक और दिशा सदिश V1 के तीनों घटक दर्ज करें, फिर दूसरी रेखा के लिए भी यही दोहराएँ। फिर "calculate" दबाएँ। परिणाम सबसे छोटी दूरी दिखाता है और दोनों रेखाओं को प्रतिच्छेदी (intersecting), विषम (skew), समांतर (parallel) या संपाती (coincident) के रूप में वर्गीकृत करता है। (0, 0, 0) वाला कोई भी दिशा सदिश स्वीकार नहीं किया जाता, क्योंकि वह किसी रेखा को परिभाषित नहीं करता।

सूत्र की व्याख्या

मान लीजिए $\vec{W} = \vec{P2} - \vec{P1}$ वह सदिश है जो हर रेखा के एक-एक बिंदु को जोड़ता है, और $\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2}$ दोनों दिशाओं का क्रॉस गुणनफल (cross product) है। जब रेखाएँ समांतर नहीं होतीं, तो सबसे छोटी दूरी स्केलर त्रिगुण गुणनफल (scalar triple product) के निरपेक्ष मान को $\vec{N}$ के परिमाण से भाग देने पर मिलती है:

$$d = \frac{\left| \vec{W} \cdot \vec{N} \right|}{\left| \vec{N} \right|}$$

यदि यह शून्य के बराबर हो तो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं; अन्यथा वे विषम (skew) हैं (कभी नहीं मिलतीं पर समांतर भी नहीं हैं)। जब V1 और V2 एक-दूसरे के स्केलर गुणज होते हैं, तो $\vec{N}$ शून्य सदिश बन जाता है, इसलिए कैलकुलेटर बिंदु-से-रेखा सूत्र

$$d = \frac{\left| \vec{W} \times \vec{V_1} \right|}{\left| \vec{V_1} \right|}$$

पर स्विच कर जाता है; यहाँ परिणाम शून्य आने का अर्थ है कि दोनों रेखाएँ संपाती (एक ही) हैं।

वेक्टर आरेख जिसमें V1 क्रॉस V2 से अभिलंब वेक्टर बनता है और W उस पर प्रक्षेपित है — दूरी $\vec{W}$ के उस दिशा पर प्रक्षेपण के बराबर है जो दोनों रेखाओं के लंबवत है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $\text{P1} = (-1, 2, 0)$, $\vec{V_1} = (2, 3, 1)$ और $\text{P2} = (3, -4, 1)$, $\vec{V_2} = (1, 2, 1)$। तब $\vec{W} = (4, -6, 1)$ और $\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2} = (1, -1, 1)$ जहाँ $\left| \vec{N} \right| = \sqrt{3} = 1.7320508$ है। डॉट गुणनफल $\vec{W} \cdot \vec{N} = 4 + 6 + 1 = 11$, इसलिए $$d = \frac{11}{\sqrt{3}} = 6.350853$$ चूँकि $d$ शून्य नहीं है, इसलिए दोनों रेखाएँ विषम (skew) हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

"विषम" (skew) का क्या मतलब है? विषम रेखाएँ 3D में ऐसी रेखाएँ होती हैं जो न तो समांतर होती हैं और न ही एक-दूसरे को काटती हैं — वे एक निश्चित न्यूनतम दूरी पर एक-दूसरे के पास से गुज़र जाती हैं।

दूरी शून्य क्यों आती है? दूरी शून्य होने का अर्थ है कि दोनों रेखाओं में कम से कम एक बिंदु साझा है: या तो वे एक-दूसरे को काटती हैं, या यदि समांतर हैं तो वे वास्तव में एक ही रेखा हैं।

क्या दिशा सदिशों की लंबाई मायने रखती है? नहीं। किसी दिशा सदिश को स्केल करने (बड़ा या छोटा करने) से रेखा नहीं बदलती, और सूत्र संबंधित परिमाण से सामान्यीकरण (normalize) कर देता है, इसलिए दूरी पर कोई असर नहीं पड़ता।