Что считает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет кратчайшее (минимальное) расстояние между двумя прямыми в трёхмерном пространстве. Каждая прямая задаётся точкой, через которую она проходит, \(P = (a, b, c)\), и направляющим вектором \(V = (p, q, r)\), параллельным прямой, — это в точности те данные, что входят в каноническое уравнение \((x-a)/p = (y-b)/q = (z-c)/r\). Это чисто геометрический инструмент аналитической геометрии: он работает универсально, без привязки к единицам измерения или правилам какой-либо страны.
Как пользоваться
Введите три координаты точки P1 и три компоненты направляющего вектора V1 для первой прямой, затем сделайте то же самое для второй. Нажмите «Рассчитать». В результате вы увидите кратчайшее расстояние, а также тип взаимного расположения прямых: пересекающиеся, скрещивающиеся, параллельные или совпадающие. Направляющий вектор \((0, 0, 0)\) не принимается, поскольку он не задаёт прямую.
Разбор формулы
Обозначим \(\vec{W} = \text{P2} - \text{P1}\) — вектор, соединяющий точки на двух прямых, и \(\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2}\) — векторное произведение направляющих векторов. Если прямые не параллельны, кратчайшее расстояние равно модулю смешанного произведения, делённому на длину вектора \(\vec{N}\):
$$ d = \frac{\left| \vec{W} \cdot \vec{N} \right|}{\left| \vec{N} \right|} $$Если это значение равно нулю, прямые пересекаются; в противном случае они скрещивающиеся (никогда не встречаются, но и не параллельны). Когда \(\vec{V_1}\) и \(\vec{V_2}\) коллинеарны (один кратен другому), вектор \(\vec{N}\) оказывается нулевым, и калькулятор переходит к формуле расстояния от точки до прямой:
$$ d = \frac{\left| \vec{W} \times \vec{V_1} \right|}{\left| \vec{V_1} \right|} $$нулевой результат здесь означает, что прямые совпадают.
Пример расчёта
Возьмём \(\text{P1} = (-1, 2, 0)\), \(\vec{V_1} = (2, 3, 1)\) и \(\text{P2} = (3, -4, 1)\), \(\vec{V_2} = (1, 2, 1)\). Тогда \(\vec{W} = (4, -6, 1)\) и \(\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2} = (1, -1, 1)\), причём \(\left| \vec{N} \right| = \sqrt{3} = 1{,}7320508\). Скалярное произведение \(\vec{W} \cdot \vec{N} = 4 + 6 + 1 = 11\), поэтому
$$ d = \frac{11}{\sqrt{3}} = 6{,}350853 $$Так как \(d\) не равно нулю, прямые являются скрещивающимися.
Частые вопросы
Что значит «скрещивающиеся»? Скрещивающиеся прямые в трёхмерном пространстве не параллельны и не пересекаются — они проходят мимо друг друга на фиксированном минимальном расстоянии.
Почему расстояние равно нулю? Нулевое расстояние означает, что у прямых есть хотя бы одна общая точка: либо они пересекаются, либо, если параллельны, представляют собой одну и ту же прямую.
Влияет ли длина направляющих векторов на результат? Нет. Умножение направляющего вектора на число не меняет саму прямую, а формула делит на соответствующую длину, поэтому расстояние остаётся прежним.
