Объём тетраэдра (и параллелепипеда) по четырём точкам

Введите расчет

Точка A, x

Точка A, y

Точка A, z

Точка B, x

Точка B, y

Точка B, z

Точка C, x

Точка C, y

Точка C, z

Точка D, x

Точка D, y

Точка D, z

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Parallelepiped Volume

   

   Same edge vectors u, v, w from point A; parallelepiped volume = |u . (v x w)| (6 times the tetrahedron volume)

Результатов

Объём тетраэдра

1,3333

кубические единицы (единица длины в кубе)

Объём параллелепипеда	8 cubic units
Смешанное произведение (со знаком)	8
Соотношение	Тетраэдр = Параллелепипед / 6

Что считает этот калькулятор

Инструмент принимает четыре точки A, B, C и D в трёхмерном пространстве и выдаёт два объёма: объём параллелепипеда, построенного на трёх рёберных векторах с началом в точке A, и объём тетраэдра, вершинами которого служат эти четыре точки. Координаты задаются обычными числами в любых удобных вам единицах длины, поэтому результат получается в тех же единицах, возведённых в куб.

Как пользоваться

Введите координаты x, y и z для каждой из четырёх точек и нажмите «Рассчитать». Порядок точек не влияет на величину ответа — он меняет лишь знак промежуточного смешанного произведения, который мы отбрасываем, беря модуль. Если все четыре точки лежат в одной плоскости, тетраэдр оказывается «плоским», и оба объёма равны нулю. Это корректный результат, а не ошибка.

Разбор формулы

Построим три рёберных вектора из точки A: \(\vec{u} = \text{B} - \text{A}\), \(\vec{v} = \text{C} - \text{A}\), \(\vec{w} = \text{D} - \text{A}\). Смешанное произведение \(T = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\) равно определителю матрицы, строками которой являются векторы \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) и \(\vec{w}\). Геометрически \(|T|\) — это объём параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Тетраэдр занимает ровно одну шестую такого параллелепипеда, поэтому объём тетраэдра равен \(|T| / 6\).

$$V_{\text{tet}} = \frac{1}{6}\left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|$$

$$V_{\text{par}} = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right| = 6\,V_{\text{tet}}$$

Реклама

Тетраэдр составляет одну шестую параллелепипеда, построенного на тех же трёх векторах.

Три рёберных вектора u, v, w из точки A задают тетраэдр.

Пример с решением

Пусть \(\text{A} = (0,0,0)\), \(\text{B} = (2,0,0)\), \(\text{C} = (0,2,0)\), \(\text{D} = (0,0,2)\). Тогда \(\vec{u} = (2,0,0)\), \(\vec{v} = (0,2,0)\), \(\vec{w} = (0,0,2)\). Векторное произведение \(\vec{v} \times \vec{w} = (4,0,0)\), а \(T = \vec{u} \cdot (4,0,0) = 8\). Значит, объём параллелепипеда равен 8, а объём тетраэдра — \(8 / 6 = 1{,}3333\) кубических единиц.

Частые вопросы

Важен ли порядок точек? Нет. Перестановка точек может изменить знак \(T\), но никогда не меняет его величину, а мы выводим модуль.

Почему ответ равен нулю? Четыре точки лежат в одной плоскости (компланарны), поэтому тетраэдр не имеет объёма.

В каких единицах получается результат? В тех же единицах длины, что и ваши координаты, возведённых в третью степень. Координаты в сантиметрах дают кубические сантиметры.