この計算機でできること
このツールは、３次元空間内の４つの点A・B・C・Dから、２種類の体積を求めます。１つは点Aを起点とする３本の辺ベクトルが張る平行六面体の体積、もう１つはこれら４点を頂点とする四面体の体積です。座標はお使いの長さの単位での数値をそのまま入力すればよく、求まる体積はその単位の３乗（立方）になります。
使い方
４つの点それぞれについて、x・y・zの座標を入力し、「計算」を押すだけです。点の入力順は答えの大きさには影響せず、途中で求めるスカラー三重積の符号が変わるだけですが、最終的に絶対値をとるため結果は変わりません。４点がすべて同一平面上にある場合、四面体はつぶれた状態となり、両方の体積が０になります。これはエラーではなく、正しい計算結果です。
計算式の解説
点Aを起点として、３本の辺ベクトルをつくります。\(\vec{u} = \text{B} - \text{A}\)、\(\vec{v} = \text{C} - \text{A}\)、\(\vec{w} = \text{D} - \text{A}\) です。スカラー三重積 \(T = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\) は、u・v・wを各行に並べた行列の行列式に等しくなります。幾何学的には \(|T|\) がこれらのベクトルが張る平行六面体の体積です。四面体はこの平行六面体のちょうど６分の１を占めるため、四面体の体積は \(|T| / 6\) となります。
$$V_{\text{tet}} = \frac{1}{6}\left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \vec{u} &= \left(\text{B}_x - \text{A}_x,\; \text{B}_y - \text{A}_y,\; \text{B}_z - \text{A}_z\right) \\ \vec{v} &= \left(\text{C}_x - \text{A}_x,\; \text{C}_y - \text{A}_y,\; \text{C}_z - \text{A}_z\right) \\ \vec{w} &= \left(\text{D}_x - \text{A}_x,\; \text{D}_y - \text{A}_y,\; \text{D}_z - \text{A}_z\right) \end{aligned} \right.$$$$V_{\text{par}} = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right| = 6\,V_{\text{tet}}$$
計算例
\(\text{A} = (0,0,0)\)、\(\text{B} = (2,0,0)\)、\(\text{C} = (0,2,0)\)、\(\text{D} = (0,0,2)\) とします。このとき \(\vec{u} = (2,0,0)\)、\(\vec{v} = (0,2,0)\)、\(\vec{w} = (0,0,2)\) です。外積 \(\vec{v} \times \vec{w} = (4,0,0)\) となり、\(T = \vec{u} \cdot (4,0,0) = 8\) です。したがって平行六面体の体積は 8、四面体の体積は $$8 / 6 = 1.3333$$（立方単位）となります。
よくある質問
点の入力順は結果に影響しますか？ いいえ。順番を入れ替えると \(T\) の符号が変わることはありますが、大きさは変わりません。本計算機は絶対値で表示します。
結果が０になるのはなぜですか？ ４点が同一平面上にある（共面）ためです。この場合、四面体には体積がありません。
結果の単位は何になりますか？ 入力した座標の長さの単位を３乗（立方）した単位です。たとえば座標をセンチメートルで入力すれば、結果は立方センチメートルになります。
