这个计算器能做什么
只要给出三维空间里的 A、B、C、D 四个点，本工具就能一次算出两个体积：一是以 A 为起点的三条棱向量所张成的平行六面体体积，二是以这四个点为顶点的四面体体积。坐标只是普通数值，单位由你自己决定，因此算出的体积单位就是该长度单位的三次方。
使用方法
分别填入四个点的 x、y、z 坐标，然后点击「计算」。点的排列顺序不会影响结果的大小，只会改变中间步骤里三重积的正负号，而我们取绝对值后正负号自然被舍去。如果四个点恰好落在同一平面上，四面体便被「压扁」，两个体积都等于零——这是合理的结果，并非错误。
公式详解
从 A 点出发构造三条棱向量：\(\vec{u} = \text{B} - \text{A}\)，\(\vec{v} = \text{C} - \text{A}\)，\(\vec{w} = \text{D} - \text{A}\)。标量三重积 \(T = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\) 等于以 \(\vec{u}\)、\(\vec{v}\)、\(\vec{w}\) 为行所组成矩阵的行列式。从几何上看，\(|T|\) 就是这三个向量张成的平行六面体的体积。而四面体恰好占据平行六面体的六分之一，所以四面体体积等于 \(|T| / 6\)。
$$V_{\text{tet}} = \frac{1}{6}\left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \vec{u} &= \left(\text{B}_x - \text{A}_x,\; \text{B}_y - \text{A}_y,\; \text{B}_z - \text{A}_z\right) \\ \vec{v} &= \left(\text{C}_x - \text{A}_x,\; \text{C}_y - \text{A}_y,\; \text{C}_z - \text{A}_z\right) \\ \vec{w} &= \left(\text{D}_x - \text{A}_x,\; \text{D}_y - \text{A}_y,\; \text{D}_z - \text{A}_z\right) \end{aligned} \right.$$$$V_{\text{par}} = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right| = 6\,V_{\text{tet}}$$
实例演算
设 \(\text{A} = (0,0,0)\)、\(\text{B} = (2,0,0)\)、\(\text{C} = (0,2,0)\)、\(\text{D} = (0,0,2)\)。则 \(\vec{u} = (2,0,0)\)，\(\vec{v} = (0,2,0)\)，\(\vec{w} = (0,0,2)\)。叉积 \(\vec{v} \times \vec{w} = (4,0,0)\)，于是 \(T = \vec{u} \cdot (4,0,0) = 8\)。因此平行六面体体积为 \(8\)，四面体体积为 \(8 / 6 = 1.3333\) 立方单位。
常见问题
点的顺序重要吗？不重要。调换顺序可能让 \(T\) 变号，但绝不会改变它的大小，而我们最终给出的是绝对值。
为什么我的结果是零？说明这四个点共面，因此四面体没有体积。
结果用什么单位？取决于你的坐标使用的长度单位，再取三次方。坐标以厘米为单位，结果就是立方厘米。
