यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल त्रिविमीय अंतरिक्ष में चार बिंदु A, B, C और D लेता है और दो आयतन लौटाता है: A से शुरू होने वाले तीन किनारा सदिशों द्वारा बने समानांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन, और वह चतुष्फलक (tetrahedron) जिसके शीर्ष ये चारों बिंदु हैं उसका आयतन। निर्देशांक उसी लंबाई इकाई में साधारण संख्याएँ होते हैं जिसमें आप काम कर रहे हैं, इसलिए परिणामी आयतन भी उसी इकाई के घन में मिलता है।
इसका उपयोग कैसे करें
चारों बिंदुओं में से हर एक के लिए x, y और z निर्देशांक दर्ज करें। फिर "गणना करें" दबाएँ। बिंदुओं का क्रम उत्तर के आकार को प्रभावित नहीं करता, केवल बीच में आने वाले त्रिगुणन गुणनफल का चिह्न बदलता है, जिसे हम निरपेक्ष मान (absolute value) लेकर हटा देते हैं। यदि चारों बिंदु एक ही समतल में हों तो चतुष्फलक चपटा हो जाता है और दोनों आयतन शून्य आते हैं — यह कोई त्रुटि नहीं बल्कि एक सही परिणाम है।
सूत्र की व्याख्या
बिंदु A से तीन किनारा सदिश बनाइए: \(\vec{u} = B - A\), \(\vec{v} = C - A\), \(\vec{w} = D - A\)। अदिश त्रिगुणन गुणनफल \(T = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\) उस आव्यूह (matrix) के सारणिक (determinant) के बराबर होता है जिसकी पंक्तियाँ \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) और \(\vec{w}\) हैं। ज्यामितीय रूप से \(|T|\) इन सदिशों द्वारा बने समानांतर षट्फलक का आयतन है। एक चतुष्फलक उस समानांतर षट्फलक का ठीक छठा भाग घेरता है, इसलिए चतुष्फलक का आयतन \(|T| / 6\) होता है।
$$V_{\text{tet}} = \frac{1}{6}\left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \vec{u} &= \left(\text{B}_x - \text{A}_x,\; \text{B}_y - \text{A}_y,\; \text{B}_z - \text{A}_z\right) \\ \vec{v} &= \left(\text{C}_x - \text{A}_x,\; \text{C}_y - \text{A}_y,\; \text{C}_z - \text{A}_z\right) \\ \vec{w} &= \left(\text{D}_x - \text{A}_x,\; \text{D}_y - \text{A}_y,\; \text{D}_z - \text{A}_z\right) \end{aligned} \right.$$$$V_{\text{par}} = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right| = 6\,V_{\text{tet}}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(A = (0,0,0)\), \(B = (2,0,0)\), \(C = (0,2,0)\), \(D = (0,0,2)\)। तब \(\vec{u} = (2,0,0)\), \(\vec{v} = (0,2,0)\), \(\vec{w} = (0,0,2)\)। क्रॉस गुणनफल \(\vec{v} \times \vec{w} = (4,0,0)\), और \(T = \vec{u} \cdot (4,0,0) = 8\)। तो समानांतर षट्फलक का आयतन 8 है और चतुष्फलक का आयतन \(8 / 6 = 1.3333\) घन इकाई है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या बिंदुओं का क्रम मायने रखता है? नहीं। बिंदुओं को दोबारा क्रम में लगाने से \(T\) का चिह्न पलट सकता है, पर उसका परिमाण कभी नहीं बदलता, और हम निरपेक्ष मान ही दिखाते हैं।
मेरा उत्तर शून्य क्यों आ रहा है? चारों बिंदु एक ही समतल में (coplanar) हैं, इसलिए चतुष्फलक का कोई आयतन नहीं है।
परिणाम किस इकाई में आता है? आपके निर्देशांक जिस भी लंबाई इकाई में हों, उसी की तीसरी घात में। सेंटीमीटर में निर्देशांक देने पर घन सेंटीमीटर मिलते हैं।
