ماذا تفعل هذه الحاسبة
تأخذ هذه الأداة أربع نقاط هي A وB وC وD في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وتعيد لك حجمين اثنين: حجم متوازي السطوح الذي تولّده متجهات الأضلاع الثلاثة المنطلقة من النقطة A، وحجم رباعي الأوجه الذي تمثّل تلك النقاط الأربع رؤوسه. الإحداثيات مجرد أعداد بأي وحدة طول تعمل بها، ولذلك يأتي الحجم الناتج بالوحدة نفسها مرفوعة إلى التكعيب.
طريقة الاستخدام
أدخل الإحداثيات x وy وz لكل نقطة من النقاط الأربع، ثم اضغط على زر الحساب. لا يؤثر ترتيب النقاط في مقدار الناتج، بل يؤثر فقط في إشارة الجداء الثلاثي الوسيط، وهي إشارة نتجاهلها بأخذ القيمة المطلقة. وإذا وقعت النقاط الأربع جميعها في مستوٍ واحد، صار رباعي الأوجه مسطّحًا وكان الحجمان مساويين للصفر، وهذا ناتج صحيح وليس خطأ.
شرح الصيغة
كوّن ثلاثة متجهات أضلاع انطلاقًا من النقطة A: \(\vec{u} = \text{B} - \text{A}\) و\(\vec{v} = \text{C} - \text{A}\) و\(\vec{w} = \text{D} - \text{A}\). يساوي الجداء السلمي الثلاثي \(T = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\) محدّد المصفوفة التي تشكّل المتجهات \(\vec{u}\) و\(\vec{v}\) و\(\vec{w}\) صفوفها. هندسيًا، تمثّل القيمة \(|T|\) حجم متوازي السطوح الذي تولّده هذه المتجهات. ويشغل رباعي الأوجه سُدس هذا المتوازي بالضبط، ولذلك يكون حجمه \(|T| / 6\).
$$V_{\text{tet}} = \frac{1}{6}\left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \vec{u} &= \left(\text{B}_x - \text{A}_x,\; \text{B}_y - \text{A}_y,\; \text{B}_z - \text{A}_z\right) \\ \vec{v} &= \left(\text{C}_x - \text{A}_x,\; \text{C}_y - \text{A}_y,\; \text{C}_z - \text{A}_z\right) \\ \vec{w} &= \left(\text{D}_x - \text{A}_x,\; \text{D}_y - \text{A}_y,\; \text{D}_z - \text{A}_z\right) \end{aligned} \right.$$$$V_{\text{par}} = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right| = 6\,V_{\text{tet}}$$
مثال محلول
لتكن \(\text{A} = (0,0,0)\) وB = (2,0,0) وC = (0,2,0) وD = (0,0,2). إذًا \(\vec{u} = (2,0,0)\) و\(\vec{v} = (0,2,0)\) و\(\vec{w} = (0,0,2)\). يكون الجداء الاتجاهي \(\vec{v} \times \vec{w} = (4,0,0)\)، ومنه \(T = \vec{u} \cdot (4,0,0) = 8\). وعليه يبلغ حجم متوازي السطوح 8، بينما يبلغ حجم رباعي الأوجه \(8 / 6 = 1.3333\) وحدة مكعبة.
الأسئلة الشائعة
هل يؤثر ترتيب النقاط؟ لا. قد تؤدي إعادة ترتيب النقاط إلى قلب إشارة \(T\)، لكنها لا تغيّر مقداره أبدًا، ونحن نعرض القيمة المطلقة.
لماذا جاء الناتج صفرًا؟ لأن النقاط الأربع تقع في مستوٍ واحد، فلا يكون لرباعي الأوجه حجم.
ما الوحدة التي يستعملها الناتج؟ أي وحدة طول تستعملها في إحداثياتك مرفوعة إلى الأس الثالث. فإحداثيات بالسنتيمتر تعطي سنتيمترات مكعبة.
