Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, üç boyutlu uzayda A, B, C ve D olmak üzere dört nokta alır ve size iki farklı hacim sunar: A noktasından başlayan üç kenar vektörünün oluşturduğu paralelyüzün hacmi ile köşeleri bu dört nokta olan tetrahedronun hacmi. Koordinatlar, hangi uzunluk biriminde çalışıyorsanız o birimde sade sayılardır; dolayısıyla bulunan hacim de aynı birimin küpü cinsinden çıkar.
Nasıl kullanılır?
Dört noktanın her biri için x, y ve z koordinatlarını girin ve hesapla düğmesine basın. Noktaların sırası sonucun büyüklüğünü değiştirmez; yalnızca ara adımdaki üçlü çarpımın işaretini etkiler ki biz mutlak değeri alarak bunu zaten göz ardı ederiz. Eğer dört nokta da aynı düzlemde yer alıyorsa tetrahedron yassılaşır ve her iki hacim de sıfır olur. Bu bir hata değil, tamamen geçerli bir sonuçtur.
Formülün açıklaması
A noktasından üç kenar vektörü oluşturun: \(\vec{u} = \text{B} - \text{A}\), \(\vec{v} = \text{C} - \text{A}\), \(\vec{w} = \text{D} - \text{A}\). Skaler üçlü çarpım \(T = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\), satırları \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) ve \(\vec{w}\) olan matrisin determinantına eşittir. Geometrik olarak \(|T|\), bu vektörlerin oluşturduğu paralelyüzün hacmidir. Bir tetrahedron ise bu paralelyüzün tam altıda birini kaplar; bu nedenle tetrahedron hacmi \(|T| / 6\) olur.
$$V_{\text{tet}} = \frac{1}{6}\left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \vec{u} &= \left(\text{B}_x - \text{A}_x,\; \text{B}_y - \text{A}_y,\; \text{B}_z - \text{A}_z\right) \\ \vec{v} &= \left(\text{C}_x - \text{A}_x,\; \text{C}_y - \text{A}_y,\; \text{C}_z - \text{A}_z\right) \\ \vec{w} &= \left(\text{D}_x - \text{A}_x,\; \text{D}_y - \text{A}_y,\; \text{D}_z - \text{A}_z\right) \end{aligned} \right.$$$$V_{\text{par}} = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right| = 6\,V_{\text{tet}}$$
Çözümlü örnek
\(\text{A} = (0,0,0)\), \(\text{B} = (2,0,0)\), \(\text{C} = (0,2,0)\), \(\text{D} = (0,0,2)\) olsun. Bu durumda \(\vec{u} = (2,0,0)\), \(\vec{v} = (0,2,0)\), \(\vec{w} = (0,0,2)\) olur. Vektörel çarpım \(\vec{v} \times \vec{w} = (4,0,0)\) ve \(T = \vec{u} \cdot (4,0,0) = 8\) çıkar. Yani paralelyüz hacmi 8, tetrahedron hacmi ise \(8 / 6 = 1{,}3333\) birim küp olur.
Sıkça sorulan sorular
Noktaların sırası önemli mi? Hayır. Noktaları yeniden sıralamak \(T\)'nin işaretini değiştirebilir ama büyüklüğünü asla değiştirmez; biz de mutlak değeri raporladığımız için sonuç aynı kalır.
Sonucum neden sıfır çıktı? Dört nokta aynı düzlemde (eş düzlemli) olduğu için tetrahedronun hacmi yoktur.
Sonuç hangi birimdedir? Koordinatlarınızda hangi uzunluk birimini kullandıysanız onun küpü cinsindendir. Santimetre cinsinden koordinatlar santimetreküp verir.
