Düzgün dörtyüzlü (tetrahedron) nedir?
Düzgün dörtyüzlü, dört adet eş kenar (eşkenar) üçgen yüzeyden oluşan ve tüm kenarları eşit uzunlukta olan üç boyutlu bir cisimdir. Platonik cisimlerin en yalını olan bu şekle geometride, kimyada (molekül yapılarında) ve mühendislikte sıkça rastlanır. Bu hesaplayıcı, tek bir kenar uzunluğundan yola çıkarak hacmi, ayrıca yüzey alanını ve yüksekliği doğrudan bulur.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Kenar uzunluğu a değerini istediğiniz birimde (cm, m, inç vb.) girin; hesaplayıcı hacmi aynı birimin küpü cinsinden verir. Örneğin kenarı santimetre olarak girerseniz hacim santimetreküp olarak çıkar. Araç ayrıca dörtyüzlünün yüzey alanını ve dikey yüksekliğini de gösterir.
Formülün açıklaması
Düzgün bir dörtyüzlünün hacmi şu formülle bulunur:
$$V = \frac{\text{Edge }(a)^{3}}{6\sqrt{2}}$$Bu ifade \(V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^{3} \approx 0{,}11785 \cdot a^{3}\) şeklinde de yazılabilir. Yüzey alanı \(A = \sqrt{3} \cdot a^{2}\), tepe noktasından tabana olan yükseklik ise \(h = a \cdot \sqrt{\tfrac{2}{3}}\) olarak hesaplanır.
Örnek hesaplama
Kenar uzunluğunun \(a = 6\) olduğunu varsayalım. Bu durumda
$$V = \frac{6^{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{216}{8{,}4853} \approx 25{,}456 \text{ birimküp}$$olur. Yüzey alanı \(\sqrt{3} \times 36 \approx 62{,}354\) birimkare, yükseklik ise \(6 \times \sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 4{,}899\) birimdir.
Sıkça sorulan sorular
Düzgün olmayan dörtyüzlülerde de işe yarar mı? Hayır. Bu formül, dört yüzün de eşkenar üçgen olduğunu ve tüm kenarların eşit olduğunu varsayar. Düzgün olmayan dörtyüzlüler için dört köşenin koordinatlarına ihtiyaç vardır.
Hangi birimleri kullanır? İstediğiniz herhangi bir birimi kullanabilirsiniz; yeter ki tutarlı olun. Hacim, kenar için kullandığınız birimin küpü cinsinden çıkar.
Neden 6√2'ye bölüyoruz? Bu sabit, kesit alanının dörtyüzlünün yüksekliği boyunca integre edilmesinden gelir; \(\frac{1}{6\sqrt{2}} \approx 0{,}11785\) değeri düzgün dörtyüzlü için tam (kesin) bir sonuçtur.
