समचतुष्फलक (रेगुलर टेट्राहेड्रॉन) क्या होता है?
समचतुष्फलक एक त्रि-आयामी आकृति है जो चार एक जैसी समबाहु त्रिभुजाकार फलकों से बनी होती है, और इसकी सभी भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं। यह सबसे सरल प्लेटॉनिक ठोस (Platonic solid) है और ज्यामिति, रसायन विज्ञान (अणुओं की संरचना) तथा इंजीनियरिंग में बार-बार दिखाई देता है। यह कैलकुलेटर सिर्फ एक भुजा की लंबाई से ही इसका आयतन — साथ ही पृष्ठीय क्षेत्रफल और ऊँचाई — निकाल देता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
भुजा की लंबाई a को किसी भी एक इकाई (सेमी, मीटर, इंच आदि) में दर्ज करें, और कैलकुलेटर उसी इकाई के घन में आयतन बता देगा। उदाहरण के लिए, यदि आप भुजा सेंटीमीटर में डालते हैं, तो आयतन घन सेंटीमीटर में आएगा। यह टूल पृष्ठीय क्षेत्रफल और टेट्राहेड्रॉन की लंबवत ऊँचाई भी बताता है।
सूत्र की व्याख्या
समचतुष्फलक का आयतन इस सूत्र से निकाला जाता है:
$$V = \frac{\text{Edge }(a)^{3}}{6\sqrt{2}}$$इसे यूँ भी लिख सकते हैं: \(V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^{3} \approx 0.11785 \cdot a^{3}\)। पृष्ठीय क्षेत्रफल \(A = \sqrt{3} \cdot a^{2}\) होता है, और ऊँचाई (शीर्ष से आधार तक) \(h = a \cdot \sqrt{\tfrac{2}{3}}\) होती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए भुजा की लंबाई \(a = 6\) है। तब $$V = \frac{6^{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{216}{8.4853} \approx 25.456 \text{ घन इकाई}$$ पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\sqrt{3} \times 36 \approx 62.354\) वर्ग इकाई, और ऊँचाई \(6 \times \sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 4.899\) इकाई होगी।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या यह असमान (irregular) टेट्राहेड्रॉन के लिए भी काम करता है? नहीं — यह सूत्र मानकर चलता है कि चारों फलक समान भुजाओं वाली समबाहु त्रिभुज हैं। असमान टेट्राहेड्रॉन के लिए चारों शीर्षों के निर्देशांक (coordinates) चाहिए होते हैं।
यह किन इकाइयों का उपयोग करता है? कोई भी इकाई चलेगी, बस ध्यान रखें कि आप एक ही इकाई का लगातार उपयोग करें। आयतन उसी इकाई के घन में निकलेगा जिसमें आपने भुजा डाली थी।
6√2 से भाग क्यों देते हैं? यह टेट्राहेड्रॉन की ऊँचाई के साथ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल का समाकलन (integration) करने से आता है; समचतुष्फलक के लिए स्थिरांक \(\frac{1}{6\sqrt{2}} \approx 0.11785\) बिल्कुल सटीक है।
