Qu'est-ce qu'un tétraèdre régulier ?
Un tétraèdre régulier est un solide à trois dimensions composé de quatre faces triangulaires équilatérales identiques, dont toutes les arêtes ont la même longueur. C'est le plus simple des solides de Platon, et on le rencontre fréquemment en géométrie, en chimie (formes moléculaires) ou en ingénierie. Ce calculateur en détermine le volume — ainsi que l'aire totale et la hauteur — directement à partir de la longueur d'une seule arête.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez la longueur de l'arête a dans l'unité de votre choix (cm, m, pouces, etc.) et le calculateur renvoie le volume dans l'unité cube correspondante. Par exemple, si vous indiquez l'arête en centimètres, le volume sera exprimé en centimètres cubes. L'outil affiche également l'aire de la surface et la hauteur verticale du tétraèdre.
La formule expliquée
Le volume d'un tétraèdre régulier se calcule ainsi :
$$V = \frac{\text{Edge }(a)^{3}}{6\sqrt{2}}$$On peut aussi l'écrire sous la forme \(V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^{3} \approx 0{,}11785 \cdot a^{3}\). L'aire totale vaut \(A = \sqrt{3} \cdot a^{2}\), et la hauteur (du sommet à la base) est \(h = a \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\).
Exemple concret
Supposons une arête de longueur \(a = 6\). On obtient alors $$V = \frac{6^{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{216}{8{,}4853} \approx 25{,}456 \text{ unités cubes.}$$ L'aire de la surface est \(\sqrt{3} \times 36 \approx 62{,}354\) unités carrées, et la hauteur \(6 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 4{,}899\) unités.
Questions fréquentes
Cela fonctionne-t-il pour un tétraèdre irrégulier ? Non — cette formule suppose que les quatre faces sont des triangles équilatéraux aux arêtes égales. Pour un tétraèdre irrégulier, il faut connaître les coordonnées de ses quatre sommets.
Quelles unités utiliser ? Celles que vous voulez, à condition de rester cohérent. Le volume s'exprime au cube de l'unité choisie pour l'arête.
Pourquoi diviser par \(6\sqrt{2}\) ? Ce facteur provient de l'intégration de l'aire des sections transversales le long de la hauteur du tétraèdre ; la constante \(\frac{1}{6\sqrt{2}} \approx 0{,}11785\) est exacte dans le cas du tétraèdre régulier.
