정사면체란?
정사면체(正四面體)는 네 개의 합동인 정삼각형 면으로 이루어진 입체도형으로, 모든 모서리의 길이가 같습니다. 다섯 가지 정다면체(플라톤 입체) 중 가장 단순한 형태로, 기하학은 물론 화학(분자 구조)이나 공학 분야에서도 자주 등장합니다. 이 계산기는 모서리 길이 하나만 입력하면 부피는 물론 겉넓이와 높이까지 한 번에 구해줍니다.
계산기 사용법
모서리 길이 a를 원하는 단위(cm, m, inch 등)로 입력하면, 같은 단위의 세제곱(부피)으로 결과가 나옵니다. 예를 들어 모서리를 센티미터(cm)로 입력하면 부피는 세제곱센티미터(cm³)로 표시됩니다. 입력한 단위만 일관되게 맞춰주면 됩니다. 또한 정사면체의 겉넓이와 수직 높이도 함께 보여줍니다.
공식 풀이
정사면체의 부피는 다음 공식으로 구합니다.
$$V = \frac{a^{3}}{6\sqrt{2}}$$
이 식은 \(V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^{3} \approx 0.11785 \cdot a^{3}\) 로 바꿔 쓸 수도 있습니다. 겉넓이는 \(A = \sqrt{3} \cdot a^{2}\), 꼭짓점에서 밑면까지의 높이는 \(h = a \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\) 입니다.
계산 예시
모서리 길이가 \(a = 6\) 인 경우를 살펴보겠습니다. 부피는 $$V = \frac{6^{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{216}{8.4853} \approx 25.456$$ (세제곱 단위)입니다. 겉넓이는 \(\sqrt{3} \times 36 \approx 62.354\) (제곱 단위)이고, 높이는 \(6 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 4.899\) (단위)가 됩니다.
자주 묻는 질문
일반(부등) 사면체에도 사용할 수 있나요? 아니요. 이 공식은 네 면이 모두 정삼각형이고 모든 모서리가 같은 정사면체를 전제로 합니다. 모서리 길이가 제각각인 일반 사면체는 네 꼭짓점의 좌표가 모두 필요합니다.
어떤 단위를 쓰나요? 일관성만 유지하면 어떤 단위든 괜찮습니다. 부피는 모서리에 사용한 단위의 세제곱으로 나옵니다.
왜 6√2로 나누나요? 정사면체의 높이를 따라 단면적을 적분하면 이 값이 나오기 때문입니다. 상수 \(\frac{1}{6\sqrt{2}} \approx 0.11785\) 는 정사면체에 대해 정확히 성립하는 값입니다.
