이 계산기는 무엇을 하나요
3차원 공간의 네 점 A, B, C, D를 입력하면 두 가지 부피를 한 번에 알려줍니다. 하나는 점 A에서 출발하는 세 모서리 벡터가 만들어 내는 평행육면체의 부피이고, 다른 하나는 이 네 점을 꼭짓점으로 하는 사면체의 부피입니다. 좌표는 여러분이 사용하는 길이 단위 그대로의 숫자이므로, 결과 부피 역시 그 단위의 세제곱으로 나옵니다.
사용 방법
네 점 각각의 x, y, z 좌표를 입력한 뒤 계산 버튼을 누르세요. 점을 입력하는 순서는 결과의 크기에는 영향을 주지 않습니다. 순서가 바뀌면 중간 단계인 삼중곱의 부호만 달라질 뿐인데, 계산기는 절댓값을 취하므로 부호는 신경 쓸 필요가 없습니다. 만약 네 점이 모두 같은 평면 위에 있다면 사면체가 납작하게 눌려 두 부피가 모두 0이 됩니다. 이는 오류가 아니라 올바른 결과입니다.
공식 풀이
점 A를 기준으로 세 모서리 벡터를 만듭니다. \(\vec{u} = \text{B} - \text{A}\), \(\vec{v} = \text{C} - \text{A}\), \(\vec{w} = \text{D} - \text{A}\) 입니다. 스칼라 삼중곱 \(T = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\)는 \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\)를 각 행으로 하는 행렬의 행렬식과 같습니다. 기하학적으로 \(|T|\)는 이 세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피입니다. 사면체는 그 평행육면체의 정확히 6분의 1을 차지하므로, 사면체의 부피는 \(|T| / 6\) 이 됩니다.
$$V_{\text{tet}} = \frac{1}{6}\left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|$$$$V_{\text{par}} = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right| = 6\,V_{\text{tet}}$$
예제로 확인하기
\(\text{A} = (0,0,0)\), \(\text{B} = (2,0,0)\), \(\text{C} = (0,2,0)\), \(\text{D} = (0,0,2)\)이라고 합시다. 그러면 \(\vec{u} = (2,0,0)\), \(\vec{v} = (0,2,0)\), \(\vec{w} = (0,0,2)\)입니다. 외적 \(\vec{v} \times \vec{w} = (4,0,0)\)이고, \(T = \vec{u} \cdot (4,0,0) = 8\)이 됩니다. 따라서 평행육면체의 부피는 8이고, 사면체의 부피는 \(8 / 6 = 1.3333\) 세제곱 단위입니다.
자주 묻는 질문
점의 순서가 중요한가요? 아니요. 점의 순서를 바꾸면 \(T\)의 부호가 뒤집힐 수 있지만 크기는 절대 변하지 않으며, 계산기는 절댓값으로 결과를 보여줍니다.
결과가 왜 0으로 나오나요? 네 점이 같은 평면 위에 있기 때문입니다. 이 경우 사면체는 부피를 갖지 못합니다.
결과의 단위는 무엇인가요? 좌표에 사용한 길이 단위를 세제곱한 값입니다. 좌표가 센티미터 단위라면 결과는 세제곱센티미터(cm³)가 됩니다.
