Công cụ này làm gì
Công cụ nhận vào bốn điểm A, B, C và D trong không gian ba chiều rồi trả về hai giá trị thể tích: thể tích của hình hộp (hình hộp xiên) dựng từ ba vectơ cạnh cùng xuất phát tại A, và thể tích của khối tứ diện có bốn đỉnh chính là bốn điểm đó. Tọa độ chỉ là những con số bình thường theo đơn vị độ dài bạn đang dùng, nên thể tích thu được sẽ tính theo chính đơn vị đó mũ ba.
Cách sử dụng
Nhập tọa độ x, y và z cho từng điểm trong bốn điểm. Bấm tính. Thứ tự các điểm không làm thay đổi độ lớn của kết quả, mà chỉ ảnh hưởng đến dấu của tích hỗn tạp trung gian — và dấu này được loại bỏ khi ta lấy giá trị tuyệt đối. Nếu cả bốn điểm cùng nằm trên một mặt phẳng thì tứ diện bị "dẹt", cả hai thể tích đều bằng 0; đây là kết quả hợp lệ chứ không phải lỗi.
Giải thích công thức
Dựng ba vectơ cạnh từ điểm A: \(\vec{u} = \text{B} - \text{A}\), \(\vec{v} = \text{C} - \text{A}\), \(\vec{w} = \text{D} - \text{A}\). Tích hỗn tạp \(T = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\) bằng đúng định thức của ma trận có ba hàng là \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) và \(\vec{w}\). Về mặt hình học, \(|T|\) chính là thể tích của hình hộp do ba vectơ này dựng nên. Một khối tứ diện chiếm đúng một phần sáu hình hộp đó, vậy nên thể tích tứ diện bằng \(|T| / 6\).
$$V_{\text{tet}} = \frac{1}{6}\left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \vec{u} &= \left(\text{B}_x - \text{A}_x,\; \text{B}_y - \text{A}_y,\; \text{B}_z - \text{A}_z\right) \\ \vec{v} &= \left(\text{C}_x - \text{A}_x,\; \text{C}_y - \text{A}_y,\; \text{C}_z - \text{A}_z\right) \\ \vec{w} &= \left(\text{D}_x - \text{A}_x,\; \text{D}_y - \text{A}_y,\; \text{D}_z - \text{A}_z\right) \end{aligned} \right.$$$$V_{\text{par}} = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right| = 6\,V_{\text{tet}}$$
Ví dụ minh họa
Lấy \(\text{A} = (0,0,0)\), \(\text{B} = (2,0,0)\), \(\text{C} = (0,2,0)\), \(\text{D} = (0,0,2)\). Khi đó \(\vec{u} = (2,0,0)\), \(\vec{v} = (0,2,0)\), \(\vec{w} = (0,0,2)\). Tích có hướng \(\vec{v} \times \vec{w} = (4,0,0)\), và \(T = \vec{u} \cdot (4,0,0) = 8\). Vậy thể tích hình hộp là 8 và thể tích tứ diện là \(8 / 6 = 1{,}3333\) đơn vị khối.
Câu hỏi thường gặp
Thứ tự các điểm có quan trọng không? Không. Đổi thứ tự các điểm có thể làm đổi dấu của \(T\) nhưng không bao giờ thay đổi độ lớn, và chúng tôi luôn báo kết quả ở dạng giá trị tuyệt đối.
Vì sao kết quả của tôi bằng 0? Bốn điểm của bạn cùng nằm trên một mặt phẳng (đồng phẳng), nên tứ diện không có thể tích.
Kết quả tính theo đơn vị nào? Theo chính đơn vị độ dài mà tọa độ của bạn sử dụng, nâng lên lũy thừa ba. Nếu tọa độ tính bằng centimet thì kết quả là centimet khối.
