Ce que fait ce calculateur
Cet outil prend quatre points A, B, C et D dans l'espace à trois dimensions et renvoie deux volumes : celui du parallélépipède engendré par les trois vecteurs d'arête issus de A, et celui du tétraèdre dont ces quatre points sont les sommets. Les coordonnées sont de simples nombres exprimés dans l'unité de longueur de votre choix : le volume obtenu est donc exprimé dans cette même unité, élevée au cube.
Comment l'utiliser
Saisissez les coordonnées x, y et z de chacun des quatre points, puis lancez le calcul. L'ordre des points ne change pas la valeur du résultat, mais seulement le signe du produit mixte intermédiaire — signe que l'on écarte en prenant la valeur absolue. Si les quatre points sont situés dans un même plan, le tétraèdre est aplati et les deux volumes valent zéro : c'est un résultat tout à fait valable, et non une erreur.
La formule expliquée
On construit trois vecteurs d'arête à partir du point A : \(\vec{u} = \text{B} - \text{A}\), \(\vec{v} = \text{C} - \text{A}\), \(\vec{w} = \text{D} - \text{A}\). Le produit mixte \(T = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\) est égal au déterminant de la matrice dont les lignes sont \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\). Géométriquement, \(|T|\) représente le volume du parallélépipède engendré par ces vecteurs. Un tétraèdre occupe exactement un sixième de ce parallélépipède : son volume vaut donc \(|T| / 6\).
$$V_{\text{tet}} = \frac{1}{6}\left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|$$
Exemple concret
Prenons \(\text{A} = (0,0,0)\), \(\text{B} = (2,0,0)\), \(\text{C} = (0,2,0)\), \(\text{D} = (0,0,2)\). On a alors \(\vec{u} = (2,0,0)\), \(\vec{v} = (0,2,0)\), \(\vec{w} = (0,0,2)\). Le produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{w} = (4,0,0)\), et $$T = \vec{u} \cdot (4,0,0) = 8.$$ Le volume du parallélépipède vaut donc 8 et celui du tétraèdre \(8 / 6 = 1{,}3333\) unités cubes.
FAQ
L'ordre des points a-t-il une importance ? Non. Permuter les points peut inverser le signe de \(T\), mais jamais sa valeur absolue, et c'est précisément cette valeur absolue que nous affichons.
Pourquoi mon résultat est-il nul ? Les quatre points sont coplanaires : le tétraèdre n'a donc aucun volume.
Dans quelle unité le résultat est-il exprimé ? Dans l'unité de longueur de vos coordonnées, élevée à la puissance trois. Des coordonnées en centimètres donnent un résultat en centimètres cubes.
