Qué hace esta calculadora
Esta herramienta parte de cuatro puntos A, B, C y D situados en el espacio tridimensional y devuelve dos volúmenes: el del paralelepípedo definido por los tres vectores arista que arrancan en A y el del tetraedro cuyos vértices son esos mismos cuatro puntos. Las coordenadas son simplemente números expresados en la unidad de longitud con la que estés trabajando, de modo que el volumen resultante se da en esa misma unidad elevada al cubo.
Cómo utilizarla
Introduce las coordenadas x, y y z de cada uno de los cuatro puntos y pulsa calcular. El orden en que coloques los puntos no altera el tamaño del resultado; solo cambia el signo del producto mixto intermedio, que descartamos al tomar el valor absoluto. Si los cuatro puntos están en un mismo plano, el tetraedro queda «aplastado» y ambos volúmenes valen cero: es un resultado perfectamente válido, no un error.
La fórmula paso a paso
Construye tres vectores arista desde el punto A: \(\vec{u} = \text{B} - \text{A}\), \(\vec{v} = \text{C} - \text{A}\), \(\vec{w} = \text{D} - \text{A}\). El producto mixto \(T = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\) coincide con el determinante de la matriz cuyas filas son \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\). Geométricamente, \(|T|\) es el volumen del paralelepípedo que generan esos vectores. Un tetraedro ocupa exactamente la sexta parte de ese paralelepípedo, por lo que su volumen es \(|T| / 6\).
$$V_{\text{tet}} = \frac{1}{6}\left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|$$$$V_{\text{par}} = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right| = 6\,V_{\text{tet}}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\text{A} = (0,0,0)\), \(\text{B} = (2,0,0)\), \(\text{C} = (0,2,0)\) y \(\text{D} = (0,0,2)\). Entonces \(\vec{u} = (2,0,0)\), \(\vec{v} = (0,2,0)\) y \(\vec{w} = (0,0,2)\). El producto vectorial \(\vec{v} \times \vec{w} = (4,0,0)\) y \(T = \vec{u} \cdot (4,0,0) = 8\). Así, el volumen del paralelepípedo es \(8\) y el del tetraedro es \(8 / 6 = 1{,}3333\) unidades cúbicas.
Preguntas frecuentes
¿Importa el orden de los puntos? No. Cambiar el orden puede invertir el signo de \(T\), pero nunca modifica su magnitud, y nosotros mostramos el valor absoluto.
¿Por qué me da cero el resultado? Porque los cuatro puntos son coplanarios, así que el tetraedro no tiene volumen.
¿En qué unidades se expresa el resultado? En la unidad de longitud que uses para las coordenadas, elevada al cubo. Si las coordenadas están en centímetros, el resultado estará en centímetros cúbicos.
