Калькулятор объёма и площади поверхности правильного тетраэдра

Введите расчет

Длина ребра a

Результатов

Объём V

0,117851

cubic units (unit³)

Длина ребра a	1
Площадь поверхности S	1,732051 unit²

Что такое правильный тетраэдр?

Правильный тетраэдр — один из пяти платоновых тел. У него четыре грани, каждая из которых представляет собой равный (конгруэнтный) равносторонний треугольник, четыре вершины и шесть рёбер одинаковой длины. Поскольку все рёбра имеют одну и ту же длину a, и объём, и полную площадь поверхности можно выразить через одно-единственное число. Это чисто математический геометрический инструмент, который работает одинаково везде: никаких региональных правил или особенностей здесь нет.

Правильный тетраэдр: четыре конгруэнтные равносторонние треугольные грани, все рёбра равной длины a.

Как пользоваться калькулятором

Введите длину ребра a в любых удобных единицах измерения (сантиметры, метры, дюймы и так далее) — калькулятор вернёт объём и площадь поверхности в соответствующих кубических и квадратных единицах. Перевод единиц не выполняется: если вы вводите a в сантиметрах, объём получится в см³, а площадь поверхности — в см². Длина ребра должна быть больше нуля; отрицательное значение берётся по модулю.

Разбор формул

Объём равен $$V = \frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^{3}.$$ Полная площадь поверхности складывается из четырёх равносторонних треугольников. Площадь одного равностороннего треугольника со стороной a равна \(\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^{2}\), поэтому четыре такие грани дают $$S = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^{2} = \sqrt{3}\cdot a^{2}.$$ Здесь \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\), а \(\sqrt{3} \approx 1{,}73205081\).

Реклама

Каждая из четырёх граней — равносторонний треугольник со стороной a; площадь поверхности вчетверо больше его площади: S = √3·a².

Пример расчёта

Пусть длина ребра a = 3: тогда \(a^{3} = 27\), и $$V = \frac{1{,}41421356}{12} \times 27 = 0{,}117851130 \times 27 \approx 3{,}18198052 \text{ кубических единиц}.$$ Далее \(a^{2} = 9\), поэтому $$S = 1{,}73205081 \times 9 \approx 15{,}58845727 \text{ квадратных единиц}.$$

Частые вопросы

В каких единицах получается ответ? В тех же единицах длины, которые вы задали для a: объём — в кубе этой единицы, площадь поверхности — в её квадрате.

А если a = 1? Тогда \(V \approx 0{,}117851130\), а \(S \approx 1{,}732050808\).

Это работает только для правильных тетраэдров? Да. Данные формулы предполагают, что все четыре грани равносторонние, а все шесть рёбер равны между собой. Для неправильных тетраэдров нужны другие расчёты.