Что считает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет объём и площадь поверхности произвольного (трёхосного) эллипсоида — гладкого выпуклого тела, заданного тремя полуосями a, b и c. Сфера — это частный случай, когда все три полуоси равны, а сфероид (эллипсоид вращения) — случай, когда равны любые две из них. Калькулятор работает с любыми положительными значениями и выдаёт результат в согласованных единицах: объём в ед.³, а площадь поверхности в ед.².
Как пользоваться
Введите длины трёх полуосей (это половина полной ширины тела вдоль каждой главной оси) в одной и той же единице измерения — хоть в сантиметрах, хоть в дюймах, как вам удобнее. Порядок ввода не важен: программа сама сортирует оси. Все три значения должны быть больше нуля. Нажмите «Рассчитать», чтобы получить обе величины.
Разбор формул
Для объёма есть простая точная формула: $$V = \frac{4}{3}\pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}$$ С площадью поверхности всё гораздо сложнее: у трёхосного эллипсоида нет площади, выражаемой через элементарные функции. Точный результат записывается через неполные эллиптические интегралы первого рода \(F(\phi,k)\) и второго рода \(E(\phi,k)\). Отсортировав полуоси так, чтобы \(p \ge q \ge r\), мы полагаем \(\cos\phi = r/p\) и \(k^{2} = \dfrac{p^{2}(q^{2}-r^{2})}{q^{2}(p^{2}-r^{2})}\), после чего вычисляем $$S = 2\pi r^{2} + \frac{2\pi p\,q}{\sin\phi}\left[ E(\phi,k)\sin^{2}\phi + F(\phi,k)\cos^{2}\phi \right]$$ Этот калькулятор находит \(F\) и \(E\) методом составной формулы Симпсона высокого разрешения, который быстро сходится, поскольку подынтегральные функции гладкие.
Пример расчёта
Пусть \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 1\): объём $$= \frac{4}{3}\pi(3)(2)(1) = 8\pi \approx 25{,}133 \text{ ед.}^{3}$$ После сортировки получаем \(p=3\), \(q=2\), \(r=1\), поэтому \(\cos\phi = 1/3\), \(\phi \approx 1{,}23096\) рад, \(k^{2} = 27/32 = 0{,}84375\). Численно \(F \approx 1{,}54125\) и \(E \approx 1{,}00526\), что даёт \(S \approx 48{,}88\) ед.².
Часто задаваемые вопросы
Почему нет простой формулы для площади? В отличие от объёма, поверхностный интеграл трёхосного эллипсоида невозможно выразить через элементарные функции — для него по самой своей природе нужны эллиптические интегралы.
А как быть со сферой? Если все три полуоси равны, калькулятор сразу переходит к простым формулам \(V = \frac{4}{3}\pi a^{3}\) и \(S = 4\pi a^{2}\).
Важны ли единицы измерения? Используйте одну и ту же единицу для всех трёх значений; тогда объём получится в её кубе, а площадь — в квадрате.
