Что вычисляет этот калькулятор
Калькулятор находит значения трёх эллиптических функций Якоби — \(\operatorname{sn}(u,k)\), \(\operatorname{cn}(u,k)\) и \(\operatorname{dn}(u,k)\) — для любого действительного аргумента \(u\) и модуля \(k\) в диапазоне от 0 до 1. Эти функции обобщают привычные тригонометрические синус и косинус и встречаются повсюду в физике и инженерии: точное описание колебаний маятника, солитоны (уравнения Кортевега–де Фриза и синус-Гордона), расчёт эллиптических фильтров и конформные отображения.
Модуль, параметр и углы: какие соглашения важны
Здесь всё зависит от выбранных обозначений. Калькулятор работает с модулем \(k\) при условии \(0 \le k \le 1\). С ним связаны параметр \(m = k^2\) и модулярный угол \(\alpha = \arcsin(k)\). Если в вашем источнике приведены \(m\) или \(\alpha\), сначала переведите их в модуль: \(k = \sqrt{m}\) или \(k = \sin(\alpha)\). Аргумент \(u\) и все углы заданы в радианах.
Как пользоваться
Введите аргумент \(u\) (любое действительное число) и модуль \(k\) от 0 до 1 — и сразу получите \(\operatorname{sn}\), \(\operatorname{cn}\) и \(\operatorname{dn}\). В панели результатов выводятся также два основных тождества, каждое из которых должно равняться 1: это встроенная проверка точности расчёта.
Формула и алгоритм
Амплитуда \(\varphi = \operatorname{am}(u,k)\) задаётся неявно соотношением $$u = \int_{0}^{\varphi} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}.$$ Тогда \(\operatorname{sn} = \sin(\varphi)\), \(\operatorname{cn} = \cos(\varphi)\) и \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^2 \sin^2\varphi}\). Калькулятор обращает этот интеграл методом нисходящего преобразования Ландена и арифметико-геометрического среднего (AGM): он сходится квадратично и достигает двойной точности примерно за девять шагов. Предельные случаи \(k = 0\) ($$\operatorname{sn} = \sin u,\quad \operatorname{cn} = \cos u,\quad \operatorname{dn} = 1$$) и \(k = 1\) ($$\operatorname{sn} = \tanh u,\quad \operatorname{cn} = \operatorname{dn} = \frac{1}{\cosh u}$$) обрабатываются по замкнутым формулам, чтобы избежать вырождения AGM-алгоритма.
Разбор примера
Возьмём \(u = 1.0\) и \(k = 0.5\) (то есть \(m = 0.25\)). Амплитуда \(\operatorname{am}(1, 0.5) \approx 0.95985\) рад, откуда \(\operatorname{sn} \approx 0.81962\), \(\operatorname{cn} \approx 0.57280\) и $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25 \cdot 0.81962^2} \approx 0.91217.$$ Оба тождества выполняются: \(\operatorname{sn}^2 + \operatorname{cn}^2 \approx 1\) и \(\operatorname{dn}^2 + k^2\operatorname{sn}^2 \approx 1\).
Частые вопросы
Чему равны периоды функций? У \(\operatorname{sn}\) и \(\operatorname{cn}\) действительный период равен \(4K(k)\); у \(\operatorname{dn}\) период равен \(2K(k)\), где \(K(k)\) — полный эллиптический интеграл первого рода.
В каких пределах лежат значения? \(|\operatorname{sn}| \le 1\), \(|\operatorname{cn}| \le 1\), а \(k' \le \operatorname{dn} \le 1\), где \(k' = \sqrt{1 - k^2}\) — дополнительный модуль.
Может ли \(k\) быть больше 1? Для действительных значений функций Якоби требуется \(0 \le k \le 1\); значения \(k\) вне этого диапазона приводятся к границам допустимого интервала.
