यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल तीनों जैकोबी इलिप्टिक फलनों — $\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ और $\operatorname{dn}(u,k)$ — का मान किसी भी वास्तविक तर्क $u$ और 0 से 1 के बीच के मापांक $k$ के लिए निकालता है। ये फलन साधारण त्रिकोणमितीय फलनों का व्यापक रूप हैं और भौतिकी तथा अभियांत्रिकी में जगह-जगह दिखाई देते हैं: पेंडुलम की सटीक गति, सॉलिटॉन (KdV और साइन-गॉर्डन समीकरण), इलिप्टिक फ़िल्टर डिज़ाइन और कॉन्फ़ॉर्मल मानचित्रण इसके कुछ उदाहरण हैं।

u के सापेक्ष आलेखित जैकोबी दीर्घवृत्तीय फलन sn, cn और dn के ग्राफ़ — तीन जैकोबी दीर्घवृत्तीय फलन sn, cn और dn चर u के आवर्ती तरंगों के रूप में।

मापांक, प्राचल और कोण की परिपाटियाँ

यहाँ परिपाटियों का खास महत्व है। यह कैलकुलेटर मापांक $k$ का उपयोग करता है, जहाँ $0 \le k \le 1$ होता है। संबंधित प्राचल $m = k^2$ है, और मॉड्यूलर कोण $\alpha = \arcsin(k)$ होता है। यदि आपका स्रोत $m$ या $\alpha$ के रूप में मान देता है, तो पहले रूपांतरण कर लें: $k = \sqrt{m}$ या $k = \sin(\alpha)$। तर्क $u$ और सभी कोण रेडियन में होते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

तर्क $u$ (कोई भी वास्तविक संख्या) और 0 से 1 के बीच मापांक $k$ दर्ज करें, फिर sn, cn और dn के मान पढ़ें। परिणाम पैनल दो परिभाषक सर्वसमिकाएँ भी दिखाता है, जिनका मान दोनों ही स्थिति में 1 होना चाहिए — यह एक अंतर्निहित सटीकता जाँच है।

सूत्र और एल्गोरिदम

आयाम $\phi = \operatorname{am}(u,k)$ को परोक्ष रूप से इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$$u = \int_{0}^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}$$

फिर $\operatorname{sn} = \sin(\phi)$, $\operatorname{cn} = \cos(\phi)$ और $\operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^2 \sin^2\phi}$ होता है। कैलकुलेटर इस समाकल को अवरोही-लांडेन / समांतर-गुणोत्तर माध्य (AGM) विधि से प्रतिलोमित करता है, जो द्विघातीय रूप से अभिसरित होती है और लगभग नौ चरणों में डबल प्रिसिज़न तक पहुँच जाती है। सीमांत स्थितियाँ $k = 0$ ($\operatorname{sn} = \sin u$, $\operatorname{cn} = \cos u$, $\operatorname{dn} = 1$) और $k = 1$ ($\operatorname{sn} = \tanh u$, $\operatorname{cn} = \operatorname{dn} = \operatorname{sech} u$) को उनके संवृत रूपों द्वारा संभाला जाता है, ताकि AGM के अपह्रास से बचा जा सके।

समकोण त्रिभुज जो आयाम कोण phi दर्शाता है, जिसका ज्या और कोज्या sn और cn देते हैं — आयाम कोण phi: इसका ज्या और कोज्या sn और cn देते हैं।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए $u = 1.0$ और $k = 0.5$ (अर्थात $m = 0.25$)। आयाम $\operatorname{am}(1, 0.5) \approx 0.95985$ रेडियन होता है, जिससे $\operatorname{sn} \approx 0.81962$, $\operatorname{cn} \approx 0.57280$ और

$$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25 \cdot 0.81962^2} \approx 0.91217$$

प्राप्त होता है। दोनों सर्वसमिकाएँ सही उतरती हैं: $\operatorname{sn}^2 + \operatorname{cn}^2 \approx 1$ और $\operatorname{dn}^2 + k^2\operatorname{sn}^2 \approx 1$।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

आवर्तकाल क्या होते हैं? sn और cn का वास्तविक आवर्तकाल $4K(k)$ होता है; dn का आवर्तकाल $2K(k)$ होता है, जहाँ $K(k)$ प्रथम प्रकार का पूर्ण इलिप्टिक समाकल है।

मानों की परास क्या होती है? $|\operatorname{sn}| \le 1$, $|\operatorname{cn}| \le 1$, और $k' \le \operatorname{dn} \le 1$, जहाँ $k' = \sqrt{1 - k^2}$ पूरक मापांक है।

क्या $k$ का मान 1 से अधिक हो सकता है? वास्तविक-मान वाले जैकोबी फलनों के लिए $0 \le k \le 1$ आवश्यक है; इस परास से बाहर के $k$ मानों को वैध अंतराल तक सीमित (clamp) कर दिया जाता है।

Identity sn² + cn²	1 (should be 1)
Identity dn² + k²sn²	1 (should be 1)

जैकोबी इलिप्टिक फलन sn, cn, dn कैलकुलेटर

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सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम