arcsn(x, k) क्या है?
व्युत्क्रम जैकोबी अण्डाकार ज्या फलन, जिसे arcsn(x, k) लिखा जाता है, इस प्रश्न का उत्तर देता है: किसी मान x और अण्डाकार मापांक (modulus) k के दिए होने पर, वह कौन-सा कोणांक u है जिससे sn(u, k) = x प्राप्त होता है? यहाँ sn जैकोबी अण्डाकार ज्या है — साधारण sine का एक द्वि-आवर्ती (doubly-periodic) सामान्यीकरण, जो लोलक (pendulum) की गति, अरैखिक दोलकों, समाकृतिक प्रतिचित्रण (conformal mapping) तथा कुछ अवकल समीकरणों के हल में बार-बार सामने आता है। यह उपकरण शुद्ध गणित पर आधारित है और हर जगह समान रूप से लागू होता है।
सूत्र
arcsn(x, k) ठीक-ठीक प्रथम प्रकार का अपूर्ण अण्डाकार समाकलन है, जिसका आयाम (amplitude) \(\phi = \arcsin(x)\) पर मान निकाला जाता है:
$$\operatorname{arcsn}(x, k) = F(\arcsin x, k) = \int_{0}^{\arcsin x} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\theta}}$$ अथवा समतुल्य रूप में $$\int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{(1 - t^{2})(1 - k^{2} t^{2})}}$$ का समाकलन। यह कैलकुलेटर मापांक (modulus) परिपाटी k का उपयोग करता है (अतः प्राचल \(m = k^{2}\) होता है)। इसकी गणना कार्लसन के सममित रूप $$\operatorname{arcsn}(x, k) = x \cdot R_F\!\left(1 - x^{2},\; 1 - k^{2}x^{2},\; 1\right)$$ से की जाती है, जहाँ \(R_F\) को तीव्रता से अभिसरित होने वाली द्विगुणन (duplication) विधि द्वारा निकाला जाता है। इससे पूर्ण द्वि-परिशुद्धि (double precision) मिलती है और परिणाम संवृत रूप (closed form) में बिल्कुल सटीक होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
x को -1 से 1 की परास में और मापांक k को 0 से 1 की परास में दर्ज करें, फिर u का मान पढ़ लें। परिशुद्धि चयनकर्ता केवल यह नियंत्रित करता है कि कितने अंक प्रदर्शित हों; भीतरी गणना द्वि-परिशुद्धि (लगभग 15 सार्थक अंक) में चलती है।
हल किया गया उदाहरण
\(x = 0.7\) और \(k = 0.8\) के लिए: $$\operatorname{arcsn} = 0.7 \cdot R_F(0.51, 0.6864, 1) \approx 0.7 \cdot 1.18218 \approx 0.82753$$ एक जाँच के रूप में, यदि \(k = 0\) होता तो परिणाम \(\arcsin(0.7) = 0.77540\) होता; चूँकि \(k = 0.8\) के कारण समाकल्य का हर (denominator) 1 से छोटा हो जाता है, इसलिए समाकलन का मान बढ़ जाता है, अर्थात् \(u > 0.7754\), जो 0.8275 के अनुरूप है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
जब k = 0 हो तो क्या होता है? समाकल्य घटकर 1 रह जाता है, अतः \(\operatorname{arcsn}(x, 0) = \arcsin(x)\)।
जब k = 1 हो तो क्या होता है? \(\operatorname{arcsn}(x, 1) = \operatorname{artanh}(x) = 0.5\cdot\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\), जो x के ±1 की ओर बढ़ने पर अपसारी (diverge) हो जाता है।
k < 1 के लिए arcsn(±1, k) क्या है? यह ±K(k) के बराबर होता है — प्रथम प्रकार का पूर्ण अण्डाकार समाकलन, जो एक परिमित मान है। केवल k = 1 के साथ x = ±1 का संयोजन ही अपसारी होता है।
